Ana içerik

Konu: AP®︎/Üniversite Kalkülüs BC > Ünite 5

Ders 5: Mutlak (Küresel) ekstremumlar bulmak için adayları kullanma

Mutlak minimum ve maksimum konusunun bir daha gözden geçirilmesi

Mutlak uç noktalarını (minimum ve maksimum) bulmak için diferansiyel analizi nasıl kullandığımızı bir daha gözden geçirin.

Mutlak uç noktalarını bulmak için diferansiyel analizi nasıl kullanabilirim?

Bir mutlak maksimum nokta, fonksiyonun en büyük olası değerine ulaştığı noktadır. Benzer şekilde, bir mutlak minimum nokta, fonksiyonun en küçük olası değerine ulaştığı noktadır.

Yerel minimumlar ve maksimumları bulmayı zaten bildiğinizi varsayarsak, uç noktaları bulmak için bir adım daha gerekir: her iki yöndeki bitim noktalarını dikkate almak.

Yerel uç noktalarına ve diferansiyel analize ilişkin daha fazla şey öğrenmek ister misiniz? Bu videoyu izleyin.

Kapalı aralıkta mutlak uç noktalarını bulma

Uç değer teoremi, bize sürekli bir fonksiyonun kapalı bir aralıkta mutlak minimum ve maksimum değerleri olması gerektiğini söyler. Bu uç değerler, ya aralıktaki bir yerel uç noktasında ya da aralığın bitim noktalarında elde edilir.

Örneğin,

h (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x

'in

- 3 \leq x \leq 3

aralığında mutlak uç noktalarını bulalım.

h^{'} (x) = 6 (x + 2) (x - 1)

olduğundan, kritik noktalarımız

x = - 2

x = 1

'dir. Bu noktalar,

- 3 \leq x \leq 3

kapalı aralığını üç parçaya ayırır:

Aralık	$x$ ‍ değeri	$h^{'} (x)$ ‍	Karar
$- 3 < x < - 2$ ‍	$x = - \frac{5}{2}$ ‍	$h^{'} (- \frac{5}{2}) = \frac{21}{2} > 0$ ‍	$h$ ‍ artmaktadır $↗$ ‍
$- 2 < x < 1$ ‍	$x = 0$ ‍	$h^{'} (0) = - 12 < 0$ ‍	$h$ ‍ azalmaktadır $↘$ ‍
$1 < x < 3$ ‍	$x = 2$ ‍	$h^{'} (2) = 24 > 0$ ‍	$h$ ‍ artmaktadır $↗$ ‍

Şimdi kritik noktalara ve aralığın bitim değerlerine bakın:

$x$ ‍	$h (x)$ ‍	Önce	Sonra	Karar
$- 3$ ‍	$9$ ‍	$-$ ‍	$↗$ ‍	Minimum
$- 2$ ‍	$20$ ‍	$↗$ ‍	$↘$ ‍	Maksimum
$1$ ‍	$- 7$ ‍	$↘$ ‍	$↗$ ‍	Minimum
$3$ ‍	$45$ ‍	$↗$ ‍	$-$ ‍	Maksimum

- 3 \leq x \leq 3

kapalı aralığında,

(- 3, 9)

(1, - 7)

noktaları yerek minimumlardır ve

(- 2, 20)

(3, 45)

noktaları yerel maksimumlardır.

$(1, - 7)$ ‍ en düşük yerel minimumdur, dolayısıyla bu mutlak minimum noktadır ve $(3, 45)$ ‍ en büyük yerel maksimumdur, dolayısıyla bu mutlak maksimum noktadır.

Mutlak minimum değerin aralığın içinde elde edildiğine ve mutlak maksimum değerin bitim noktalarından birisinde elde edildiğine dikkat edin.

Problem 1

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 12

$f$ ‍'nin $[- 2, 4]$ ‍ kapalı aralığındaki mutlak maksimum değeri nedir?

Buna benzer başka problemleri denemek ister misiniz? Bu alıştırmaya göz atın.

Tüm tanım kümesinde mutlak uç noktalarını bulma

Fonksiyonların hepsinin tüm tanım kümelerinde bir mutlak maksimum veya minimum değeri olmaz. Örneğin,

f (x) = x

doğrusal fonksiyonunun bir mutlak maksimumu veya minimumu yoktur (istediğimiz kadar düşük veya yüksek olabilir).

Bununla birlikte, bazı fonksiyonların tüm tanım kümelerinde bir mutlak uç noktası vardır. Örneğin,

g (x) = x e^{3 x}

fonksiyonunu analiz edelim.

g^{'} (x) = e^{3 x} (1 + 3 x)

olduğundan, tek kritik noktamız

x = - \frac{1}{3}

'tür.

Aralık	$x$ ‍ değeri	$g^{'} (x)$ ‍	Karar
$(- \infty, - \frac{1}{3})$ ‍	$x = - 1$ ‍	$g^{'} (- 1) = - \frac{2}{e^{3}} < 0$ ‍	$g$ ‍ azalmaktadır $↘$ ‍
$(- \frac{1}{3}, \infty)$ ‍	$x = 0$ ‍	$g^{'} (0) = 1 > 0$ ‍	$g$ ‍ artmaktadır $↗$ ‍

Kendimizi

g

grafiğinin üstünde yürürken, en soldan (

- \infty

'tan) başlayıp en sağa (

+ \infty

'a kadar) giderken hayal edelim.

x = - \frac{1}{3}

'e ulaşana kadar aşağı giderek başlayacağız. Sonra, sonsuza kadar yukarı gideceğiz. Buna göre,

g

'nin

x = - \frac{1}{3}

'te bir mutlak minimum noktası vardır. Fonksiyonun mutlak maksimum değeri yoktur.

Tüm tanım kümesinde mutlak uç noktalarına ilişkin daha fazla şey öğrenmek ister misiniz? Bu videoyu izleyin.

Problem 1

g (x) = \frac{\ln (x)}{x}

$g$ ‍'nin mutlak maksimum değeri nedir?

Buna benzer başka problemleri denemek ister misiniz? Bu alıştırmaya göz atın.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.