Ayrılabilir denklemleri belirleme

Bir diferansiyel denklemi değişkenlerine ayrıma yöntemiyle çözebilmek için, bunu $f(y)\,dy=g(x)\,dx$f, left parenthesis, y, right parenthesis, d, y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x formuna getirebiliyor olmalıyız; burada $f(y)$f, left parenthesis, y, right parenthesis $x$x içermeyen bir ifadedir ve $g(x)$g, left parenthesis, x, right parenthesis $y$y içermeyen bir ifadedir.

Diferansiyel denklemlerin hepsi böyle değildir. Örneğin, ne kadar uğraşırsak uğraşalım, $\dfrac{dy}{dx}=x+y$start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, x, plus, y'yi $f(y)\,dy=g(x)\,dx$f, left parenthesis, y, right parenthesis, d, y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x şekline getiremeyiz.

Aslında, değişkenleri ayırmanın önemli bir zorluğu, bu yöntemin nerede uygulanır olduğunu ayırt etmektir. Değişkenleri ayırmayla çözebileceğimiz diferansiyel denklemlere ayrılabilir denklemler diyoruz.

Peki denklemin ayrılabilir olduğunu nereden anlarız? Bunun en sık görülen türü, $\dfrac{dy}{dx}$start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction'in $f(y)$f, left parenthesis, y, right parenthesis ile $g(x)$g, left parenthesis, x, right parenthesis'in çarpımı veya bölümüne eşit olduğu denklemlerdir.

Örneğin, $\maroonD{f(y)}$start color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c ile $dx$d, x çarpıldığında, $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\blueD{g(x)}}{\maroonD{f(y)}}$start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, start fraction, start color #11accd, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c, end fraction $\maroonD{f(y)}dy=\blueD{g(x)}dx$start color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c, d, y, equals, start color #11accd, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, d, x'e dönüşür.

Ayrıca, $\dfrac{dy}{dx}=\maroonD{f(y)}\blueD{g(x)}$start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, start color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c, start color #11accd, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd $\maroonD{f(y)}$start color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c'ye bölündüğünde ve $dx$d, x ile çarpıldığında $\dfrac{1}{\maroonD{f(y)}}\,dy=\blueD{g(x)}dx$start fraction, 1, divided by, start color #ca337c, f, left parenthesis, y, right parenthesis, end color #ca337c, end fraction, d, y, equals, start color #11accd, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #11accd, d, x'e dönüşebilir.

Aşağıda birkaç somut örnek bulabilirsiniz:

$\dfrac{dy}{dx}=f(y)g(x)$start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, f, left parenthesis, y, right parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis şekline gelmeden önce, başka denklemlerle biraz işlem yapmamız gerekir. Örneğin, istenen şekle getirmek için, $\dfrac{dy}{dx}=xy-7x$start fraction, d, y, divided by, d, x, end fraction, equals, x, y, minus, 7, x'in sağ tarafını çarpanların ayırmamız gerekir: