Türevin Limit Cinsinden İki Farklı Tanımının ln x'e Uygulanması

F(x), x’in doğal logaritmasına eşit olsun. Evet, buna göre, x, e sayısına eşit olduğunda, teğetin eğiminin ne olduğunu bulmak istiyorum. x, e sayısına eşitken, eğrinin üzerindeki nokta, (e,1) olur. Neden? Çünkü f(e), yani e’nin doğal logaritması, 1’e eşittir. Bu noktadan geçen teğeti çizmiştim. Az önce söylediğim gibi, şimdi, bu teğetin eğimini ya da eğimi için bir ifade bulmaya çalışacağım. Bunu yaparken türevin limit cinsinden 2 farklı tanımını kullanacağım Ve böylece bu tanımları da karşılaştırma şansı elde edeceğiz. Öncelikle, biçimsel tanımını ele alalım. Biçimsel tanımı neydi? Hemen hatırlayalım. Türevin biçimsel tanımı, herhangi bir x değerinde, fonksiyonun türevi için bir ifade bulmamızı istiyor. Evet, mesela burası rastgele seçtiğim bir x değeri olsun. Bu nokta, (x,f(x)) olur. Burası da, x+h ise, aradaki uzaklık h, Bu nokta da, (x+h,f(x+h)) olur. Buraya kadar her şey tamam, değil mi? Şimdi, türevin biçimsel tanımına göre, bu iki noktadan geçen kesenin, İşte, bu noktalardan geçen kesenin eğimini bulup, bunun, h sıfıra giderken limitini almamız gerekiyor. h sıfıra giderken, yani h’in değeri küçüldükçe, buradaki mavi nokta, x’e, eğrinin üzerindeki bu nokta da, bu noktaya yaklaşmaya başlayacak. Ve böylece, kesen, giderek, x noktasındaki teğete benzeyecek, Yani teğet için daha iyi bir yaklaşım ortaya koyacak! Evet, haydi bunu yapalım! Kesenin eğimi nedir? Düşey eksendeki değişim, Yani, f(x+h) - f(x) Bölü yatay eksendeki değişim, yani (x+h) - x x'ler birbirini götürdüğünde ve şekil üzerinde de görebileceğiniz gibi, h'dır. Yatay eksendeki değişim h'dır. Sırada, bunun, h sıfıra giderken limitini almak var. f(x), x’in doğal logaritması olduğunda, baştan yazıyorum: Limit h sıfıra giderken, f(x) yerine x’in doğal logaritmasını koyuyorum, ln(x+h) - ln(x) bölü h Evet, soruda verilen fonksiyona göre, bu ifade, f'(x) oluyor. Peki, x, e sayısına eşit olduğu zaman ne olur? x gördüğümüz yerlere e yazalım ve bakalım, ne oluyormuş! Türevi, x’in bir fonksiyonuymuş gibi değerlendirdiğimizde, ortaya bu garip görünümlü fonksiyon çıkıyor! Hatta bir de limit almamız gerekiyor! Ama sakın gözünüz korkmasın, bu fonksiyonu da alışık olduğumuz diğer fonksiyonlar gibi değerlendirip, x’in yerine e koyabiliriz! F üssü e eşittir, limit h sıfıra giderken, (e+h)'ın doğal logaritması ve yazacağım yeri şimdilik boş bırakalım... Eksi e’nin doğal logaritması bölü h . e’leri de yerlerine koyalım, Şahane Evet, şimdi eğer bu limiti hesaplayabilirsek, ki hesaplayabiliriz, x, e’ye eşitken, teğetin eğimini bulabiliriz! Biçimsel tanım için bu kadar yeterli. Şimdi bir de alternatif tanımına bakalım. Eğer, türevi, x’in fonksiyonu olarak bulmak istemiyorsak, ve sadece herhangi bir noktadaki eğimle ilgileniyorsak, Alternatif tanım, alternatif metod işimizi görecektir! Evet, burada herhangi bir x değeri seçelim, Bu nokta, (x,f(x)) olur. f(x)’in x’in doğal logaritması olduğunu bildiğimiz için de, doğrudan (x,lnx) yazalım. Bu iki nokta arasındaki kesenin eğimi nedir? y değerlerinin farkı Yani, ln(x) - 1, Bölü x değerlerinin farkı. Yani x - e . Evet, bu iki nokta arasındaki kesenin eğimini bulduk. Peki ya teğetin eğimi? Peki ya teğetin eğimi? bu ifadenin limitini alacağız! x, e’ye yaklaştıkça, bu nokta da buna yaklaşacak Ve teğet için daha iyi bir yaklaşım elde edeceğiz! O halde, buraya limit, x, e’ye giderken’i ekliyorum. Ve işte böyle. Kısacası, demek istediğim, bu soruyu ister biçimsel tanımıyla, isterseniz de alternatif tanımıyla çözebilirsiniz!