If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

İspat:  d/dx(karekök(x))

Salman n=½ (yani √x'in türevi) olan özel bir durum için kuvvet kuralını ispatlıyor. Orijinal video Sal Khan tarafından hazırlanmıştır.

Video açıklaması

Bu videoda karekök x’in türevinin kanıtı yapacağız. Karekök x’in türevinin, başka bir renk kullanalım, Limit, delta x sıfıra giderken, bazıları delta x yerine, h ya da d de kullanır, ben delta x’i kullanacağım. Ne diyorduk? Delta x sıfıra giderken, fx artı delta x, Buradaki fx, karekök x olduğu için, karekök içinde x artı delta x, Eksi fx, yani karekök x, bölü delta x. Şu anda sadeleştirebileceğim çok da bir şey yok, o halde, payı ve paydayı, payın eşleniği ile çarpalım. Peki, bu ne demek? Baştan yazıyorum. Limit, delta x sıfıra giderken, karekök x artı delta x eksi karekök x bölü delta x. Bunu, karekök x artı delta x artı karekök x bölü karekök x artı delta x artı karekök x’le çarpacağım! Payın eşleniği, budur! Anladınız değil mi? Bu 1’e eşit. Ve x ve delta x de sıfırdan farklı olduğu için bunu yapmamda hiçbir sakınca yok! Kısacası, bunu, 1 bölü 1’le çarpıp, delta x sıfıra giderken limit alacağım. Devam edelim. Limit delta x sıfıra giderken, bu a eksi b çarpı a artı b, değil mi? Hemen küçük bir hatırlatma yapayım, a artı b çarpı a eksi b, a kare eksi b kare’ye eşittir! Burada da benzeri olduğu için, a kare, yani bunun karesi, nedir? X artı delta x! Eksi b kare’de,x’tir! Bölü delta x çarpı karekök x artı delta x artı karekök x! Bakalım, şimdi sadeleştirme yapabilecek miyiz? Burada bir x, bir tane de eksi x var. bunlar birbirini götürür. Payda ve payda da delta x kaldığı için, ikisini de delta x’e bölelim. Bu 1 oldu, bu da 1 oldu. Sonuç olarak, limit, delta x sıfıra giderken, 1 bölü karekök x artı delta x artı karekök x yazabiliriz. Bu arada delta x’in sıfır olmadığını varsayıyoruz, çünkü sıfıra giderken limit aldığımız için, sıfır olmayacak, sadece sıfıra yaklaşacak! peki, delta x sıfıra giderken, limit alırsak, işte, şimdi, delta x’i sıfıra eşitleyebiliriz, nasılsa sıfıra yaklaşıyor, öyle değil mi? 1 bölü karekök x, delta x’i görmezden gelelim, artı karekök x! Bu, 1 bölü 2 karekök x’e eşittir! Ve bu da, 1 bölü 2 x üzeri eksi 1 bölü 2’ye! Evet! karşınızda, karekök x’in türevinin, 1 bölü 2 x üzeri eksi 1 bölü 2 olduğunun kanıtı var! Ve bu sonuç, kuvvet 1 bölü 2 olsa bile, x üzerin n’in türevinin, n çarpı x üzeri n eksi 1 olması kuralına da uyuyor! Evet, henüz bütün kesirleri görmedik ama bu bir başlangıç! Umarım, bu basit üstel ifadenin türevinin kanıtını faydalı buldunuz. Önümüzdeki videolarda görüşmek dileğiyle.