Zincir kuralının bir daha gözden geçirilmesi

Zinci kuralı şunu söyler:

Bu bize başka iki (daha basit) fonksiyonun bileşkesi olan fonksiyonların türevini nasıl alacağımızı söyler—içteki $g(x)$g, left parenthesis, x, right parenthesis fonksiyonu ve dıştaki $f(x)$f, left parenthesis, x, right parenthesis fonksiyonu.

Zincir kuralı sadece bileşke fonksiyonlar ($\greenD{f(}\goldD{g(x)}\greenD{)}$start color #1fab54, f, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54 şeklinde yazılabilen fonksiyonlar) için geçerlidir. Dolayısıyla, doğal olarak, zincir kuralını kullanabilmek için anahtar becerilerden birisi, bileşke fonksiyonları tanıyabilmektir. Eğer bir fonksiyon bileşke fonksiyon değilse, zincir kuralını kullanamayız.

Örneğin, $h(x)=(5-6x)^5$h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 5, minus, 6, x, right parenthesis, start superscript, 5, end superscript şu şekilde düşünülebilir:

burada, içteki ve dıştaki fonksiyonlar bunlardır:

Bir bileşke fonksiyonla uğraştığımız için, zincir kuralını kullanarak türev alabiliriz. Ancak, zincir kuralını uygulamadan önce, içteki ve dıştaki fonksiyonların türevlerini bulalım (yapılan işlemler gösterilmemiştir):

Şimdi, zincir kuralını uygulayalım:

Zincir kuralını uygularken öğrencilerin sık yaptığı üç hata aşağıda verilmiştir:

Çarpımlar ile bileşkeleri karıştırmak: Özellikle transandant fonksiyonlarda (yani trigonometrik ve logaritmik fonksiyonlar), öğrenciler genelde $\ln(x)\sin(x)$natural log, left parenthesis, x, right parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis gibi çarpımları $\ln(\sin(x))$natural log, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis gibi bileşkelerle karıştırır. Zincir kuralı sadece fonksiyon bileşkeleri için geçerlidir; çarpım kuralını sadece çarpımlar için kullanmalıyız.

İçteki fonksiyonun türeviyle çarpmayı unutma: Yukarıdaki örnekte biz $\maroonD{g'(x)}$start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c ile çarptık, ancak çoğu öğrenci bu adımı unutur. Yani, bazı öğrenciler $\blueD{f'\Bigl(\goldD{g(x)}\Bigr)}\cdot\maroonD{g'(x)}$start color #11accd, f, prime, left parenthesis, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, right parenthesis, end color #11accd, dot, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c yerine $\blueD{f'\Bigl(\goldD{g(x)}\Bigr)}$start color #11accd, f, prime, left parenthesis, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, right parenthesis, end color #11accd'i hesaplar.

$f'(g'(x))$f, prime, left parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis'i hesaplama: Eğer çok dikkatli değilseniz, yanlışlıkla $f'(g(x))g'(x)$f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis yerine $f'(g'(x))$f, prime, left parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis'i hesaplayabilirsiniz. $f'(x)$f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis'in içinde olması gereken fonksiyonun $g(x)$g, left parenthesis, x, right parenthesis olması gerektiğine ($g'(x)$g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis değil) dikkat edin.

$\tan(x^2)$tangent, left parenthesis, x, squared, right parenthesis'nin türevinin alınmasını düşünün. Eğer $u(x)=x^2$u, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared ve $v(x)=\tan(x)$v, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, tangent, left parenthesis, x, right parenthesis ise, bu durumda $\tan(x^2)=v\Bigl(u(x)\Bigr)$tangent, left parenthesis, x, squared, right parenthesis, equals, v, left parenthesis, u, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis olduğuna dikkat edin. Bileşke bir fonksiyonla uğraştığımız için, zincir kuralını uygulayabiliriz.

Bize bu değerler tablosunun verilmiş olduğunu varsayın:

$H(x)$H, left parenthesis, x, right parenthesis, $f\Bigl(g(x)\Bigr)$f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis olarak tanımlanmıştır ve bizden $H'(4)$H, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis'ü bulmamız istenmiştir.

Zinci kuralı bize $H'(x)$H, prime, left parenthesis, x, right parenthesis'in $f'\Bigl(g(x)\Bigr)g'(x)$f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis olduğunu söyler. Bu, $H'(4)$H, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis'ün $f'\Bigl(g(4)\Bigr)g'(4)$f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, 4, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis olduğu anlamına gelir. Şimdi, tablodan değerleri fadeye koyalım: