If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Zincir kuralının bir daha gözden geçirilmesi

Türevler için Zincir kuralına ilişkin bilginizi bir daha gözden geçirin ve problemler çözün.
Zinci kuralı şunu söyler:
start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, close bracket, equals, f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
Bu bize başka iki (daha basit) fonksiyonun bileşkesi olan fonksiyonların türevini nasıl alacağımızı söyler—içteki g, left parenthesis, x, right parenthesis fonksiyonu ve dıştaki f, left parenthesis, x, right parenthesis fonksiyonu.

Zincir kuralı ile hangi problemleri çözebilirim?

Zincir kuralı sadece bileşke fonksiyonlar (start color #1fab54, f, left parenthesis, end color #1fab54, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, start color #1fab54, right parenthesis, end color #1fab54 şeklinde yazılabilen fonksiyonlar) için geçerlidir. Dolayısıyla, doğal olarak, zincir kuralını kullanabilmek için anahtar becerilerden birisi, bileşke fonksiyonları tanıyabilmektir. Eğer bir fonksiyon bileşke fonksiyon değilse, zincir kuralını kullanamayız.
Örneğin, h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 5, minus, 6, x, right parenthesis, start superscript, 5, end superscript şu şekilde düşünülebilir:
h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start color #1fab54, start underbrace, left parenthesis, space, start color #e07d10, start overbrace, 5, minus, 6, x, end overbrace, start superscript, start text, i, ç, t, e, k, i, end text, end superscript, space, end color #e07d10, right parenthesis, start superscript, 5, end superscript, end underbrace, start subscript, start text, d, ı, ş, t, a, k, i, end text, end subscript, end color #1fab54
burada, içteki ve dıştaki fonksiyonlar bunlardır:
g(x)=56xiçteki fonksiyonf(x)=x5dıştaki fonksiyon\begin{aligned} \goldD{g(x)}&=\goldD{5-6x} &&\text{içteki fonksiyon} \\\\ \greenD{f(x)}&=\greenD{x^5}&&\text{dıştaki fonksiyon} \end{aligned}
Bir bileşke fonksiyonla uğraştığımız için, zincir kuralını kullanarak türev alabiliriz. Ancak, zincir kuralını uygulamadan önce, içteki ve dıştaki fonksiyonların türevlerini bulalım (yapılan işlemler gösterilmemiştir):
g(x)=6f(x)=5x4\begin{aligned} \maroonD{g'(x)}&=\maroonD{-6} \\\\ \blueD{f'(x)}&=\blueD{5x^4} \end{aligned}
Şimdi, zincir kuralını uygulayalım:
ddx[f(g(x))]=f(g(x))g(x)=5(56x)46=30(56x)4\begin{aligned} &\dfrac{d}{dx}\left[f\Bigl(g(x)\Bigr)\right] \\\\ =&\blueD{f'\Bigl(\goldD{g(x)}\Bigr)}\cdot\maroonD{g'(x)} \\\\ =&\blueD{5(\goldD{5-6x})^4} \cdot \maroonD{-6} \\\\ =&-30(5-6x)^4 \end{aligned}

Yaygın yanlışlar

Zincir kuralını uygularken öğrencilerin sık yaptığı üç hata aşağıda verilmiştir:
Çarpımlar ile bileşkeleri karıştırmak: Özellikle transandant fonksiyonlarda (yani trigonometrik ve logaritmik fonksiyonlar), öğrenciler genelde natural log, left parenthesis, x, right parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis gibi çarpımları natural log, left parenthesis, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis gibi bileşkelerle karıştırır. Zincir kuralı sadece fonksiyon bileşkeleri için geçerlidir; çarpım kuralını sadece çarpımlar için kullanmalıyız.
İçteki fonksiyonun türeviyle çarpmayı unutma: Yukarıdaki örnekte biz start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c ile çarptık, ancak çoğu öğrenci bu adımı unutur. Yani, bazı öğrenciler start color #11accd, f, prime, left parenthesis, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, right parenthesis, end color #11accd, dot, start color #ca337c, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c yerine start color #11accd, f, prime, left parenthesis, start color #e07d10, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #e07d10, right parenthesis, end color #11accd'i hesaplar.
f, prime, left parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis'i hesaplama: Eğer çok dikkatli değilseniz, yanlışlıkla f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis yerine f, prime, left parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis'i hesaplayabilirsiniz. f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis'in içinde olması gereken fonksiyonun g, left parenthesis, x, right parenthesis olması gerektiğine (g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis değil) dikkat edin.

Ek örnekler

tangent, left parenthesis, x, squared, right parenthesis'nin türevinin alınmasını düşünün. Eğer u, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared ve v, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, tangent, left parenthesis, x, right parenthesis ise, bu durumda tangent, left parenthesis, x, squared, right parenthesis, equals, v, left parenthesis, u, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis olduğuna dikkat edin. Bileşke bir fonksiyonla uğraştığımız için, zincir kuralını uygulayabiliriz.
=ddx(tan(x2))=ddx[v(u(x))]Bo¨yle olsun:u(x)=x2v(x)=tan(x)=v(u(x))u(x)Zincir kuralı=sec2(x2)2x=2xsec2(x2)\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{d}{dx}\left(\tan(x^2)\right) \\\\ &=\dfrac{d}{dx}\left[v\Bigl(u(x)\Bigr)\right]&&\gray{\text{Böyle olsun:}u(x)=x^2\text{, }v(x)=\tan(x)} \\\\ &=v'\Bigl(u(x)\Bigr)\cdot u'(x)&&\gray{\text{Zincir kuralı}} \\\\ &=\sec^2(x^2)\cdot 2x \\\\ &=2x\sec^2(x^2) \end{aligned}

Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin

Problem 1
start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, square root of, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, end square root, close bracket, equals, question mark
1 cevap seçin:
1 cevap seçin:

Buna benzer başka problemleri denemek ister misiniz? Bu alıştırmaya göz atın.

Tablolarla örnekler

Bize bu değerler tablosunun verilmiş olduğunu varsayın:
xf, left parenthesis, x, right parenthesisg, left parenthesis, x, right parenthesisf, prime, left parenthesis, x, right parenthesisg, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
minus, 25minus, 116
4minus, 4minus, 208
H, left parenthesis, x, right parenthesis, f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis olarak tanımlanmıştır ve bizden H, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis'ü bulmamız istenmiştir.
Zinci kuralı bize H, prime, left parenthesis, x, right parenthesis'in f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis olduğunu söyler. Bu, H, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis'ün f, prime, left parenthesis, g, left parenthesis, 4, right parenthesis, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis olduğu anlamına gelir. Şimdi, tablodan değerleri fadeye koyalım:
H(4)=f(g(4))g(4)=f(2)8g(4)=2 , g(4)=8=18f(2)=1=8\begin{aligned} H'(4)&=f'\Bigl(g(4)\Bigr)\cdot g'(4) \\\\ &=f'(-2)\cdot 8&&\gray{g(4)=-2\text{ , }g'(4)=8} \\\\ &=1\cdot 8&&\gray{f'(-2)=1} \\\\ &=8 \end{aligned}

Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin

Problem 1
xf, left parenthesis, x, right parenthesish, left parenthesis, x, right parenthesisf, prime, left parenthesis, x, right parenthesish, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
minus, 19minus, 1minus, 5minus, 6
23minus, 116
G, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, h, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
G, prime, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals
  • Cevabınız şöyle olmalı
  • bir tam sayı, 6 gibi
  • basit kesir, 3, slash, 5 gibi
  • birleşik kesir, 7, slash, 4 gibi
  • 1, space, 3, slash, 4 gibi bir tam sayılı kesir
  • ondalık sayı, 0, comma, 75 gibi
  • pi'nin katı, 12, g, i, b, i, space, start text, p, i, end text veya 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Buna benzer başka problemleri denemek ister misiniz? Bu alıştırmaya göz atın.