Riemann Toplamları ile Düşük ya da Yüksek Tahminler

O bize ye eşittir giyeceksin altında iks eşittir 2 ve iki çeşittir 8 arasında kalan alan için sağ ve sol limon toplamlarını değerlendirelim demiş de bir bakalım bu alan grafikte maviye boyadıkları alan öyle değilim elde edeceğimiz sonuçlar yüksek mi yoksa düşük mü Evet tahminleri nedir diye de sormuşlar şimdi sırayla değerlendirelim sol ve sağ demişler O halde önce sol riemann toplamına Bir bakalım kısaca sol yazıyorum ama bu Tabii ki de sol riemann toplamı anlamına geliyor anlaştık tahmini değer için kaç tane alt bölge kullanacağımızı yani alanı bulmak için kaç tane dikdörtgenden yardım almanız gerektiğini söylemedikleri için Buna da biz karar vereceğiz dikdörtgen kullanmanın burada Mantıklı olacağını düşünüyor kısa kenarları eşit olsun olmak zorunda değil ama şimdilik eşit olarak değerlendirelim birincisi 2 ve 4 ikincisi 4 ve al bu üçüncüsü de 6 ve 8 arasında olacak soleeman toplama alıyorsa dikdörtgenlerin uzun kenarını kısa kenarlarının sol köşesinde değerlendirerek hesaplarız Evet fonksiyonun kısa kenarının sol köşesinde aldığı değer bize uzun kenarı verecek Burası Yani birinci Dikdörtgenin uzun kenarı için G2 yi ikincisi için g dördü ve üçüncüsü içinde g 6'yı kullanacağız işte böyle dikdörtgenleri çizince elde ettiğimiz alanın gerçek alandan büyük olunca yani tahminim izin yüksek bir tahmin olacağını görüyorsunuz diyeyim neden diyecek olursanız dikdörtgenleri biraz daha yakından incelersek mavi alanın tamamının dikdörtgenlerin içinde olduğunu Buna ek olarak dikdörtgenlerin Bir de şu an taradım alanları da içerdiğini görebiliriz bu noktada bu verilen Aralık'ta azalan bir fonksiyon söz konusu olduğunda ki bu fonksiyonun bu aralıkta azaldığını da görüyor olmalısınız uzun kenarı dolayısıyla da alan hesaplamak için kısa kenarların sol köşesini kullandığımız daha Evet yüksek bir tahmin elde ederiz Çünkü fonksiyonun kısa kenarın sol köşesinde aldığı değer fonksiyonunun söz konusu dikdörtgenin Kısa kenarı Üzerindeki herhangi bir noktada aldığı değerden her zaman daha büyük olacaktır azalan fonksiyonlar için soleeman toplamının yüksek bir tahmin vermesinin sebebi de budur Şimdi bir de sarı iman toplamına bakalım Evet sarı riemann toplamı bunun da bunun tam tersi olacağını tahmin ettiğinizi düşünüyorum aslında ama yine de görelim yine aynı 3 dikdörtgeni kullanalım Ama bu defa uzun kenarı belirlemek için kısa kenarın sağ köşesini kullanacağız birinci Dikdörtgenin uzun kenarı g4i oy kullanacak bu şekilde işaret diyorum ikincisi G6 ile ve üçüncüsü dg8 ile şu anda hangi dikdörtgenlerden bahsettiğimiz açık olsun diye bunları da tarıyorum Evet bu alanı tahmin etmek için sarı iman toplamını kullanacağız dikdörtgenler e bakarak bunun da düşük bir tahmin olacağını hemen söyleyebiliriz neden aralıkların her birinde alanı tahmin etmek için kullandığımız sarı iman toplamı dikdörtgeni mavi alanın bir alt kümesi de ondan başka bir de işte bu dikdörtgenler gerçek alanın bu kısımlarını yakalayamıyor lar Bu arada bunun sebebi de bunun azalan bir fonksiyon olması uzun kenarı belirlemek için dikdörtgenlerin kısa kenarının sağ köşesini kullandığımız zaman değerlendirdiğimiz g değeri her zaman o Aralık'taki en küçük g değer ol O yüzden de fonksiyonunu Aralık'taki ortalama uzun kenarından daha düşük bir uzun kenar elde ederiz ve elde ettiğimiz tahmin Böylece düşük bir tahmin olur şimdi elimizdeki fonksiyon Eğer artan bir fonksiyon olsaydı şu anda elde ettiğimiz sonuçların tam tersini söylerdik bariz şekilde artan ve azalan fonksiyonlar söz konusu olmadığında ise fonksiyona göre karar vermemiz gerekir Hatta zaman zaman seçtiğimiz dikdörtgenler bile elde edeceğimiz tahminin düşük mü yoksa yüksek mi olacağını belirleyebilir bu