Kalkülüsün Temel Teoremini Uygulamak

Elimizde, pi’den, x’e, kotanjant kare t çarpı dt’nin belirli integrali var. Ve bu arkadaşın türevini bulmak istiyoruz. Yani, türevi göstermek için, biliyorsunuz F’in üzerine bir çizgi çiziyoruz. F üzeri çizgi x gibi yani. f x’in türevinin in neye eşit olduğunu bulmaya çalışacağım. Evet aslına bakarsanız, bu, kalkülüsün temel teoremini uygulamak demek. Ne yapmamız gerekiyordu? Burada gördüğünüz karmaşık ifadenin, x’e göre türevini almamız gerekiyordu. Hemen kopyalıyorum ve buraya yapıştırıyorum. Kalküsün temel teoremi bize, bu işlemin sonucunun, bu fonksiyon olacağını söyler. Ama dikkat edin, bu artık t’ye göre değil, x’e göre bir fonksiyon olacak. Yani, kotanjant kare x. Bazı sınavlarda veya matematik yarışmalarında, bu tarz problemlerle sık sık karşılaşırsınız. Ve böyle karmaşık ifadeleri görünce, “Aman Allah’ım, şimdi bu ifadenin ters türevini almam, sınırlarında değerlendirmem ve sonra da türevini almam gerekiyor!” Diye düşünebilirsiniz. Ama kalkülüsün temel teoremini uygularsanız, bu işlemlerin hiç birini yapmanıza gerek kalmaz. Sonuç son derece açık ve nettir! Şimdi, işleri biraz karıştırayım. Diyelim ki, elimizde, pi’den, x yerine, X kare olsun. Hatta x kareyi başka bir renkle yazalım ki aradaki farkı daha iyi görebilelim. Evet, elimizde, pi’den, x kare’ye, kotanjant kare t çarpı dt’nin belirli integrali var. Ve bunun türevini almak istiyoruz. Bu ifadenin, x’e göre türevini alacağız. Ne dersiniz, Bu soruyu nasıl çözebiliriz? Bir bakalım. Büyük F, bu şekilde tanımlanmıştı. Burada ise, x yerine x kare var. O halde, bu, Büyük fx karenin, x'e göre türevini almak demek. Dikkat edin, x değil, Eğer, x olsaydı ilk yaptığımız örneğe dönmüş olurduk. X yerine, burada x kareyi kullanacağız. Bunun doğruluğunu kanıtlayabiliriz. Büyük f x kare’den bahsettiğimiz de, x gördüğünüz yerlere x kare yazmanız gerekir. Ve x yerine x kare yazıldığında da, işte bu ifadeyi elde ederiz. Şimdi de, geriye zincir kuralını uygulamak kaldı. Zincir kuralı ile bu ifadeyi F’in, x kareye göre türevi Yani, F üssü, x kare çarpı x karenin x’e göre türevi şeklinde yazabiliriz. Tekrar ediyorum, F’in, x kareye göre türevi çarpı x karenin x’e göre türevi. Peki, F’in x kareye göre türevi yani F üzeri çizgi x kare nedir? F üssü x yerine , x kare için hesaplayacak olursak, x’in yerine x kare yazabiliriz. Yani, kotanjant kare x yerine, kotanjant kare x kare yazmamız yeterli. İşte burası, Kotanjant kare x kare olacak. Yani tüm bu ifadenin, x kareye göre türevi. Sonrada, bunu x karenin x’e göre türevi olan 2x ile çarpacağız. Ve işte sonuç, bu karmaşık ve uzun ifadenin türevi, 2x çarpı kotanjant kare x kareye eşit! Bu kadar!