Yerine Koyma Yöntemi Örnek 3

4 x küp bölü x üzeri 4 artı 7 d x'in belirsiz integralini almak istiyoruz. Bunu nasıl yapabiliriz? Zor bir integral gibi görünüyor. Şimdi bu olayı çözmek için farkına varmamız gereken husus şu bu x üzeri 4 artı 7'nin türevinin de burada olması. x üzeri 4 artı 7'nin türevi eşittir 4 x küp. x üzeri 4'ün türevi, 4 x küp; 7'nin türevi 0. Bu da yerine koyma yönteminin burada kullanılacağı hakkında önemli bir ipucudur. Yerine koyma yöntemi. Buna göre u'yu neye eşitleriz? Bunu düşünmenizi istiyorum, çünkü bunu bulabilirseniz integralimiz gayet kolay bir integrale dönüşecek. u'yu türevini gördüğümüz ifadeye eşitlemek isteriz. Yani u eşittir x üzeri 4 artı 7 diyebiliriz. Peki, o zaman d u ne olur? d u'yu morla yazıyorum. d u x üzeri 4 artı 7'nin x'e göre türevi yani 4 x küp artı 0, çarpı d x olacak. Burada diferansiyel formunda yazdım ama u'nun x'e göre türevi eşittir 4 x küp demekle aynı şey. d u bölü d x yazıldığında bunun anlamı u'nun x'e göre türevidir. Aslında bu tam olarak bir kesir değildir. Ama sıklıkla bu ifadeleri kesir gibi işleme sokabilirsiniz. u adımdan şuraya ulaşmak için, iki tarafı d x ile çarpıyormuşsunuz gibi davranabilirsiniz. Bunlar denk ifadelerdir ve yerine koyma yöntemini tam uygulamak için diferansiyel formunda ifade etmek istedim. Bunun nedenini size açıkça göstermek istiyorum. Orijinal integralimizi 4 x küp d x bölü x üzeri 4 artı 7 olarak yazabiliriz. Böylece hangi ifadenin d u hangisinin u olduğu açıkça belli olur. u'yu x üzeri 4 artı 7'ye eşitleriz. O zaman d u buna eşit olur. 4 x küp d x'e eşit olur. Bunu şurada görmüştük. Yani bu integrali şöyle yazabiliriz. Evet, renkleri tutarlı bir şekilde kullanmak istiyorum. Hep aynı rengi kullanalım. d u bölü x üzeri 4 artı 7, bu da u. Veya bunun tamamını 1 bölü u d u'nun integrali olarak yazabiliriz. Peki, 1 bölü u d u'nun belirsiz integrali nedir? Bu da mutlak değerin doğal logaritmasına eşit olur. Mutlak değer kullanıyoruz ki negatif u değerleri için de tanımlı olsun. Bir başka videoda neden mutlak değer kullanmamız gerektiğini size gösteririm. u'nun mutlak değerinin doğal logaritması ve burada türev alırken kaybolan bir sabit de olabilir. u cinsinden cevabımız böyle. Şimdi u'nun yerine koymamız gerekiyor. u'nun eşit olduğu ifadeyi yerine koyunca ne olur? O zaman şöyle bir cevap buluruz. u'nun yani x üzeri 4 artı 7, C değil 7'nin mutlak değerinin doğal logaritması. Ve C'mizi unutmayalım. Cevabı bulduk!