Bölümlerin sonsuzdaki limiti (1. Kısım)

Evet, elimizde oldukça karmaşık bir fonksiyon var. 4 x üzeri 5 eksi 3 x kare artı 3, bölü 6 x üzeri 5 eksi 100 x kare eksi 10. Ve bu fonksiyonun, x sonsuza giderken limitini bulmak istiyorum. Bunu yapmanın birkaç yolu var. Bunlardan biri, x’in yerine giderek büyüyen sayılar koyarak bu ifadenin değerini hesaplamak ve x değerleri büyüdükçe ifadenin değerinin hangi sayıya yaklaştığını bulmaya çalışmak. Bir başka yol ise, bu ifade üzerinde biraz düşünmek ve mantık yürütmek. Yani, x’in giderek büyüyen değerler aldığı durumda, payın ve paydanın nasıl değişeceğini değerlendirerek çözüme ulaşabiliriz. Pay ile başlayalım. x büyüdükçe, pay ne olur? 4 x üzeri 5, paydaki diğer terimlerden çok daha büyük bir değer alacağı için, payın davranışını, yani değerini belirleyecek. Bir sayının karesini alırsanız daha büyük bir sayı elde edersiniz ama bir sayının 5’inci kuvveti size çok çok daha büyük bir sayı verecektir. Payda da ise, x arttıkça, 6 x üzeri 5, diğer tüm terimlerden daha hızlı artacak. x karenin önünde eksi 100 katsayısı olmasına rağmen, bir sayının 5’inci kuvveti size, karesinden çok daha büyük bir sayı verir. O halde, x arttıkça, bu bölüm, 4 x üzeri 5 bölü 6 x üzeri 5 ile ifade edilebilir hale gelecek. Evet, x’in çok büyük değerleri için, ya da x sonsuza giderken, fonksiyonun davranışı, bu bölme işleminin davranışına benzeyecek. Peki, bu ifadeyi biraz daha sadeleştirebilir miyiz? Evet! Payda da, paydada da, x üzeri 5 var ve bunların ikisi de birlikte, aynı oranda büyüyecek. O halde x üzeri 5’leri de sadeleştirebiliriz. Böylece geriye 2 bölü 3 kalır. Kısaca, x sonsuza giderken, ya da sonsuza yaklaşırken, yani x’in çok büyük değerleri için, bu terimlerin, fonksiyonun değeri üzerinde çok büyük bir etkisi olmayacak ve fonksiyonun limiti 2 bölü 3’e yaklaşacak. 2 bölü 3... Şimdi, bir de bu fonksiyonun grafiğine bakalım ve bulduğumuz bu sonucun doğru olup olmadığını görelim. Bu sonuç ile aslında, y eşittir 2 bölü 3’te yatay bir asimptot bulmuş olduk. Gördüğünüz gibi, x büyüdükçe, fonksiyon, bir değere yaklaşıyor ve bu değer 2 bölü 3. İşte tam bu noktadan geçen yatay asimptot da bu. Daha iyi çizebilirim, bir saniye, evet, 2 bölü 3’te yatay bir asimptot var. y eşittir 2 bölü 3. x sonsuza yaklaştıkça, y, 2 bölü 3’e yaklaşıyor. Grafikte aynı durumun, x negatif sonsuza yaklaşırken de geçerli olduğunu görüyoruz. O halde, x negatif sonsuza giderken, fonksiyonun limiti yine 2 bölü 3 olur, diyebiliriz. Evet, bu çok mantıklı. Neden mi? Bakın, aynı şekilde, x çok çok küçük değerler aldığında, fonksiyonun değerini yine en çok, 4 x üzeri 5 bölü 6 x üzeri 5 terimi etkileyecek. Yani bu, x’in hem çok büyük hem de çok küçük değerleri için geçerli olacak. x negatif sonsuza yaklaşırken, x üzeri 5’leri yine sadeleştirebiliriz çünkü aynı oranda değişecekler ve sonuç olarak, limit yine 2 bölü 3’e yaklaşacak. Grafikte de bunu görüyoruz zaten. y eşittir 2 bölü 3’te yatay bir asimptot var, demiştik. x pozitif sonsuza ya da negatif sonsuza giderken, fonksiyonun limiti, 2 bölü 3 olacak. Bunun gibi sorularda, limit ararken, hangi terimin ya da terimlerin fonksiyonun değeri üzerinde en büyük etkiye sahip olduklarını bulup, onlara odaklanmanızı tavsiye ederim. Bu kadar!