Kareköklü Bölümlerin Sonsuzdaki Limiti (Tek Kuvvet)

F(x) fonksiyonumuz x bölü kare kök içinde x kare artı 1 ( f(x)=x/√(x^2+1) ) olsun. f(x) fonksiyonumuzun x sonsuza giderken ve eksi sonsuza giderkenki limitlerini alacağız. Soruyu matematiksel limit tanımıyla çözmeden önce konuyu anlamaya çalışalım. x’e çok çok büyük değerler verdiğimizde f(x) fonksiyonu neye eşit olur düşünelim. X’e pozitif veya negatif sonsuza yaklaşan çok çok büyük değerler verdiğimizde, mutlak değerin etkisiyle yine x’ler çok çok büyük pozitif sayılar olacaklar. Çünkü paydayı sadeleştirdiğimizde sonuç mutlak değer x olacak ve x mutlak değerden pozitif olarak çıkacak. Pay kısmında sadece bir terimimiz var, x Paydada ise, kök içinde iki terimimiz var. x pozitif veya negatif taraftan çok çok büyük değerler alırsa, buradaki x kare( x^2)’nin değeri daha ağır basacak Örneğin x’in 1 milyon olduğunu düşünelim. Burada 1 milyonun karesi artı 1 olur. Yani payda da x^2 dominant terim, baskın terim. O zaman fonksiyon yaklaşık olarak buna eşit olacak: x bölü kök x kare (x/√(x^2 ) ) Buradaki 1, x çok çok büyük bir değer alırken; küçük, önemsiz kalacak. O yüzden yazmıyoruz, dikkate almıyoruz. x sonsuza giderken veya x negatif sonsuza giderken Bu da x bölü, - Bir sayının karekökü pozitif bir sayıdır.- paydayı mutlak değer x olarak yazarız. Yani x bölü mutlak değer içinde x ( x/|x| ) Bunu yapmanın bir diğer yolu da, buradaki limitleri yeniden yazarsak yani Limit x sonsuza giderken x bölü mutlak değer x. ( x/|x| ) Pozitif x’ler mutlak değerden pozitif x olarak çıkacaklar. Yani burası x bölü x olur, o da 1’e eşit olacak. Benzer şekilde burada x negatif sonsuza giderken limit aldığımızda limit x eksi sonsuza giderken x bölü mutlak değer içinde x ( x/|x| ) Tekrar hatırlayalım, f(x) yerine x bölü mutlak değer içinde x yazmamızın sebebi x çok çok büyük bir sayı olduğunda veya negatif çok çok büyük bir sayı olduğunda bu iki fonksiyon birbirlerine yaklaşıyor, yani çok benziyorlar. X’in alacağı negatif değerler için, paydadaki x mutlak değerden pozitif çıkacak paydaki x ise negatif olacak ve böylece cevabımız eksi x bölü x'ten; -1 olacak Şimdi bunları kulanarak bu fonksiyonların grafiklerini çizelim. Bu y eksenimiz, bu da x eksenimiz olsun. Burada 2 yatay asimptotumuz var. Birinci yatay asimptotumuz y=1’deyken Burası y=1 Bu doğruyu noktalı çizelim, fonksiyon buraya yakınsayacak. ve diğer yatay asimptotumuz da y=-1’deyken Fonksiyonun taslağını oluşturmak için, en azından bir nokta yerleştirmek için f(0)’ın neye eşit olduğuna bakalım f(0), sıfır bölü kök içinde sıfırın karesi artı 1 (0/√(0^2+1))’e eşit olacak. Bu da 0’a eşit. Sıfır noktası burası; yani fonksiyon bu noktadan, s 0 (orjin) noktasından geçecek. x sonsuza giderken fonksiyonun bu mavi yatay asimptota yaklaştığını biliyoruz. Yani böyle bir grafik olacak Bunu farklı bir renk ile göstereyim. x büyüdükçe, büyüdükçe, büyüdükçe; asimptota daha çok yaklaşıyoruz. ve x negatif sonsuza gittikçe bu asimptota daha çok yaklaşıyoruz. Bu fonksiyon y eşittir f(x) ((y=f(x)) fonksiyonu Bu grafikleri, daha çok nokta hesaplayıp grafiğe yerleştirerek oluşturabiliriz veya grafik çizen hesap makinesi kullanabiliriz. Bu videoda pozitif ve negatif sonsuza giderken yatay asimptotların grafiklerini belirlemeye çalıştık. Buradaki önemli nokta, x pozitif veya negatif sonsuza giderken baskın olan/dominant terimi bulmaktı ve bu fonksiyonun nereye yakınsadığını öğrenmekti. bu örneğimizde bu taraftaki yatay asimptota pozitif taraftan yakınsıyor, burada ise negatif taraftan.