If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik
Güncel saat:0:00Toplam süre:4:48

Video açıklaması

Diyelim ki, elimizde, sonsuz bir seri olan s var. Bu seri, n eşittir 1’den, n eşittir sonsuza kadar, a alt indis n’in toplamına eşit. a alt indis 1 artı a alt indis 2, böyle, bu şekilde sonsuza kadar devam ediyoruz. Size bir de, S’nin kısmi toplamları için bir formül vereyim. S alt indis n’in, 2n üzeri 3 bölü n artı 1 çarpı n artı 2’ye eşit olduğunu biliyoruz. Şimdi size sorayım... Çok genel bir ifadeyle yazdığım S, sonsuz bir serinin toplamı. Burada da, aynı serinin ilk n teriminin toplamını veren bu kısmi toplam formülü var. Bunlara dayanarak, bu seri, sizce, ıraksak mıdır yoksa yakınsak mı? Yani bu, belirli bir ifadeye eşit olduğu için yakınsak mı yoksa, sonsuz olduğu için ıraksak mı? Bunu bulmak için, sonsuz S serisinin, buradaki kısmi toplamlarının, n sonsuza giderken limiti olduğunu düşünmelisiniz. Peki, bu ne demek? Buradaki kısmi toplamlardan oluşan bir dizi düşünebiliriz, öyle değil mi? Mesela, S alt indis 1, S alt indis 2, S alt indis 3 ve bu şekilde devam edebiliriz. Bu, birinci terimin toplamıdır. Bu, ilk iki terimin toplamı, bu da ilk 3 terimin toplamı olur. Şimdi, n sonsuza giderken, bu diziye ne olacağını düşünün. Bakın, sonsuz sayıda terim var ve biz bunları toplayacağız. O halde, gelin, n sonsuza giderken, S alt indis n’in limitinin ne olacağını bulalım. Yazıyorum. Limit, n sonsuza giderken, bu ifade. Yani, 2n üzeri 3, bölü n artı 1, çarpı n artı 2. Bunu değerlendirmek için, farklı yollar izleyebilirsiniz. Bunlardan biri şu: Paydada, ikinci dereceden bir polinom elde edeceğimizi ama payda, üçüncü dereceden bir polinom olduğu için, Payın, paydadan daha hızlı büyüyeceğini düşünüp, bunun sonsuz olacağına karar vermek. Böylece, S’nin, sonsuza yaklaştığı yani ıraksadığı sonucuna ulaşırız. Ama daha sağlam bir sonuç istiyorsanız, o zaman, biraz cebir gerekecek. Limit, n sonsuza giderken, 2n üzeri 3, bölü... Bunları çarpalım. n kare artı 3n artı 2. Payı ve paydayı n kareye bölebiliriz, öyle değil mi? Devam edelim. Limit, n sonsuza giderken... Payı n kareye bölersek, geriye 2n kalır. Payda da ise, 1 artı 3 bölü n artı 2 bölü n kare. Şimdi her şey daha açık. N sonsuza giderken, bu sonsuza yaklaşır. Ama payda, bu sıfıra, bu da sıfıra yaklaşacağı için, payda, 1’e yaklaşır. İşte bunun için, bu ifadenin limiti de, sonsuza yaklaşır. Kısmi toplamları sonsuza yaklaşan bir serinin de, belirli bir değeri olacağını düşünmek, doğru olmaz. Evet, bu seri ıraksaktır. Buradaki ifade, ıraksar. Serinin yakınsak olması için, bunun, belirli bir değere yaklaşması gerekirdi. Son bir tekrar edeyim. Sonsuz bir seri var. Buradaki de ilk n terim için kullandığımız kısmi toplam formülü. Sonsuz seriyi, S alt indis n’in yani kısmi toplamın, n sonsuza giderken limiti olarak değerlendirdik ve bunun sonsuza yaklaştığını bulduğumuz için de, serinin ıraksak olduğuna kadar verdik.
AP® sınavı College Board kurumunun tescilli markasıdır ve College Board bu kaynağı kontrol etmemiştir.