e^x Üstel Fonksiyonu İçin Taylor Serisinin Grafiği

Fonksiyonumuz, f x'in, e üzeri x olduğunu varsayalım. Grafiğini kabaca çizersek, şuna benzer. İşte, e üzeri x. Yapmak istediğim şey, Taylor seri açılımı kullanarak e üzeri x'e yakın değerler elde etmek. Ve, seriyi 0 dışında bir sayıya ortalamak istiyorum. Seriyi herhangi bir sayıya örneğin 3'e ortalamak istiyorum. Burası x eşittir 3. Bu da f 3, yani e üzeri 3. Bu e üzeri 3. Taylor serisi açılımında, eğer polinomun derecesi sıfırsa e küpten geçen bir sabit fonksiyonumuz var, demektir. Birinci dereceden bir fonksiyonumuz varsa, teğet doğru demektir. Terim ekledikçe, polinomun grafiği, eğriye daha yakınsar. İleride, yakınsama testlerinden bahsedeceğiz. Şimdi ise, formülü uygulayalım. e üzeri x'in Taylor serisi, polinomumuz olacak. Peki, f c nedir? x 3 olduğuna göre c 3'tür diyoruz. c 3 ise, f 3 eşittir e küp. e küp artı f üssü c nedir? f üssü x de, e üzeri x'tir. e üzeri x'in türevini alırsanız, yine e üzeri x elde edersiniz. Zaten bu sebepten dolayı e üzeri x çok havalı bir fonksiyondur. Aslında, e üzeri x'in n'inci türevi de, yine e üzeri x'tir. Aldığınız her türev, e üzeri x'tir. f üssü x e üzeri x ise, f üssü 3, yine e küptür. Çarpı x eksi 3 artı fonksiyonumuzun ikinci türevi, ki o da e üzeri x 3'teki değeri e küp, bölü 2 faktöriyel, çarpı x eksi 3 kare. Böyle devam ederiz. Üçüncü türevi de, e üzeri x, 3'teki değeri e küp, bölü 3 faktöriyel, çarpı x eksi 3, küp. Sanıyorum, örüntüyü, bu şablonu anladınız. Açılımı rutin bir şekilde bulmaktan daha da ilginci şudur: terim ekledikçe, grafiğin nasıl e üzeri x eğrisine yakınsadığını görürsünüz. Bunu görmek için ben, wolframalpha.com'daki programı kullandım. "Taylor serisi e üzeri x ve x eşittir 3" yazdım. Wolfram Alpha ne yapmak istediğimi anladı ve bütün bunları buldu. Dikkat ederseniz, bizim bulduklarımızla aynı. e küp artı, e küp çarpı x eksi 3, artı 1 bölü 2. Onlar, faktöriyellerin değerlerini bulmuş. 3 faktöriyel yerine şuraya 6 yazılmış. Buraya da birkaç terim koymuşlar. Ama, esas ilginç olan kısım, bu polinomların grafikleri. e üzeri x'in grafiği turuncuyla çizilmiş. Dereceyi ve yakınsamayı noktalarla gösteriyor. Derecesi 1 olan polinom şuradaki teğet. Bu 0 dereceli, bunun derecesi 1, çünkü içinde x var. Bunu çizmek istersek, şurada tek noktada çizilmiş olması gerekiyor. Bir terim eklersek, ikinci dereceden bir polinom elde ediyoruz, çünkü x kare eklemiş oluyoruz x kare ve x terimleri var, dolayısıyla polinomun derecesi 2 olacak. 2 nokta arayalım. Şurada bir yerine iki nokta olmalı. Bu bir parabol. Grafiği şöyle olacak. Dikkat ederseniz, 3'e yakın bölümde e üzeri x'e daha iyi yakınsıyor. Bir terim daha ekleyelim. Şimdi üçüncü dereceden bir polinomumuz olacak. Hepsini birleştirirsek polinomumuz bu. Grafiği için 3 nokta arıyoruz. 1, 2, 3. Yani üçüncü dereceden polinomumuz şurada. e üzeri x'e parabolden daha önce yaklaştığına ve daha uzun süre e üzeri x' in yakınında kaldığına dikkat edin. Bir terim daha eklersek, dördüncü dereceli terimi eklemiş oluruz. Yani, bunun tamamı, artı bu. Şimdi, bu süper eğriyi elde ettik. Terim ekledikçe, yakınsamamızın x eşittir 3'ün daha uzağında da geliştiğini görüyorsunuz. Bir terim daha istersek şuradaki terimi ekleriz. Umarım, terim ekledikçe, elde ettiğimiz değerlerin gittikçe e üzeri x'e yaklaştığını görüyorsunuzdur. Özellikle de sonsuz adet terim eklediğimizde.