Taylor Polinomu ve Kalan (1. Bölüm)

bu elimizde bir ev x fonksiyonu olsun fonksiyonun şöyle bir grafiği olduğunu varsayalım bu y ekseni Bu da X eksenine ve tefx de şöyle bir şey olsun happix fonksiyonunun x eşittir a noktası civarındaki Tylol polinomu yakınsaması bulmak istiyorum Bu yüksek seni ve bu tahliye ekseni demiştim bu nokta civarındaki Tylol polinomunu bulmak istiyorum bu konuyu daha önce işlemişti cpanel polinomu ne demektir polinomun belirli bir dereceye kadar olan türevleri alınır ardından otur evlerin ama noktasındaki değerleri bulunur ve bunların toplamımı fonksiyonuna noktasındaki değerine eşittir Ayrıca polinomun ama noktasındaki diğeri de fonksiyonuna noktasındaki değerine eşit olmalıdır Taylan polinomu yakınsaması şöyle bir şeydir px ile ama bazen alt simge olarak büyük N harfi D yazılır bu en İnci dereceden yakınsama olduğunu göstermek amacıyla yapılır ve bazen de şöyle bir şey görürsünüz en virgül A bu da a noktası civarında en İnci dereceden yakınsama olduğunu göstermek için yapılır Ben de bu gösterimi kullanacağım ileride tekrar tekrar yazmam Gerektiğinde ben de yazmayı bırakabilirim Ama siz yine de bunu öğren bu gösterimin anlamı a noktası civarında en İnci dereceden yakınsama demek Yazalım bakalım efaa artığı efin birinci türevi Ağa çarpı eksi artı efin ikinci türevi Ağa çarpık yüksek sia'nın karesi bölüme Metin2 de yazabilirsiniz iki faktör gel de ikisi birbirine eşit ama ben iki faktöryel yazacağım ilerlerseniz buraya bir faktöryel de yazabilirsin bu devam edelim artı evin 3. türevi Ağa çarpık seksi anın küpü örüntüyü anlamışsınızdır herhalde bölü 3 faktöryel diyeceğim ve bu şekilde devam edeceğim nokta nokta nokta Peki nereye kadar En İnci dereceli Terim'e kadar peki o n e finen İnci türevi açar Ümit xx anın en ince kuvveti bölümü en faktöryel en İnci dereceden bu polinomun a noktası civarındaki yakınsaması ev Ha ya eşittir yani p a Mefa ya eşittir sağlamasını hemen yapabilirsiniz Çünkü diğer tüm terimler de ilk seksi ağaç çarpanı var polinomla ilk yerine a koyduğumuzda diğer tüm terimler sıfır olur Ve geriye P A eşittir Efa kalır bende yazayım be A eşittir ev grafiğimiz böyle bir şey olsun diyelim O polinomda ne kadar çok Terim varsa polinomun grafiği asıl grafiği o kadar yakın olur temsili bir grafik çiziyor elimden geldiğince düzgün çizmeye çalışıyor Belki bu videoda şunu göstermek istiyorum aslında konu tekrarı yapıyoruz elimizde bir fonksiyona yakınsayan bir polinom var elimizde ne kadar Terim varsa polinomun derecesi de o denli yüksek demektir ve a noktasından uzaklaştıkça polinomun grafiği fonksiyonun grafiğini o denli yakınsar Bu videoda a noktasından ne kadar uzaklaşır Sak polinomun grafiği fonksiyonun grafiği ne ne denli yakınsar bir sınır koyabilir miyiz bunu göstermek istiyorum bunu yapabilmek için bir kalan fonksiyonu tanımlamamız gerekiyor Bu fonksiyona bazı kitaplarda Hatta fonksiyonu da denir kitaplarda göreceğiniz tüm tanımları alışkın olmanızı istiyorum bazı kitaplarda kalan fonksiyon olarak geçer a Bu nasıl civarındaki en İnci dereceden polinom un kalan fonksiyonu da denir bazı kitaplarda dediğim gibi hata fonksiyonu olarak geçecektir ne Evet bazı kitapların hata fonksiyonu tabiri kullanmaktan kaçınılmasını nedeni de e harfi nedeniyle olasılık konusu altında kullanılan beklenen değer tabiriyle karışmasını engellemektir buna rağmen Ata fonksiyonu tabirini ve sık sık göreceksiniz hata anlamına gelen er kelimesinin e harfi veya kalan anlamına gelen remainder kelimesinin r harfi kullanılarak iki türlüde gösterilebilir bazen her iki gösterimde de Burada gördüğünüz gibi al simgeler kullanılabilir Bu fonksiyonu herhangi bir x içine Fix ile epik sin yakınsaması arasındaki fark olarak tanımlarız Evet eşittir aynı renklerle yazim eşittir ev ve eksi pe-xa noktası civarındaki en İnci dereceden polinom dur diyelim ki bu konuyu zihninizde canlandırmak istediğiniz veya size şöyle bir soru geldi a noktası civarındaki en İnci dereceden Tyler polinomunun be noktasındaki Hata polinomu nedir bu ifade neye eşittir ve onu zihnimizde nasıl canlandırabiliriz diyelim ki burası ve olsun O halde Bey'deki hatada e-fbe exip ebedi ref be burası pbd işte Tam burası hata ise işte Bu gördüğünüz mesafedir a noktasındaki hatayı hesaplar sanız sıfır olduğunu görürsünüz Çünkü a noktasında polinom ve fonksiyon birbirine eşit vefa ve aya eşittir O halde ağdaki hata sıfırdır deriz buna yazayım Çünkü bu önemli bu geldik ileride sınır belirlerken bize yardımcı olacak ve yazıyı aşağıdaki hata fonksiyonu videonun geri kalan bölümünde al simgeleri yazmayacağım Ama siz yazdığımı kabul ettin Bu aslında ama noktası civarındaki en İnci dereceden bir polinom ama AVM al simgelerini yazmayacağım her defasında yazarak vakit kaybetmek istemiyorum açıkçası Peki a noktasındaki hata eşittir refah eksi p a Az önce dediğim gibi bu polinomunda al simgeleri abone harflerini yazmıyorum bu polinomunda a noktası civarındaki en İnci dereceden bir polinom olduğunu kabul ediyoruz efail Efe anın eşit olduğunu biliyoruz O halde bu ifade sıfıra eşittir Rafiye bakınca görüyoruz zaten iki fonksiyon arasındaki mesafe sıfır şimdi gelin başka bir konuya değinelim hata fonksiyonuna Ya aslında ki turevini Bulalım o da şuna eşittir fonksiyonuna noktasındaki türevi eksi oyuna noktasındaki türev bu polinomun terimlerinin en az 1. dereceden veya daha yüksek dereceden türevler içerdiğini kabul ettiğimizde evin ağdaki türevi ile Pain in ağdaki türevi birbirine eşit olur bu karmaşık ifadenin 1. dereceden türevine alır isek Tyler koymam larının bu kadar kullanışlı olmasını nasıl önünde işte bu zaten oyun Onun belirli bir dereceye kadar olan bölümü düşünün O bölümü na noktasındaki türevi fonksiyonuna noktasındaki türevine eşittir polinomun fonksiyon için bir yakınsama olmasının nedeni de budur Bu polinomun türevini alırsa ilk derim sıfır olur üzerine çizim ikinci terimden yalnızca ev süsü a kalır diğer tüm terimler ilk 80a çarpanın içeceğinden ve a a birini bulmak demek iksirin Aaa yazmak demek olduğundan İlk sana içeren tüm terimler gider çünkü aeksi a sıfıra eşittir Evet ilk derim zaten gitmişti geriye yalnızca efsu a kalır pek şu eşittir hafif sağa onu şuraya yazayım Hey şu ahef üssü aya eşit Evet böyle olduğundan hata fonksiyonuna da ki Türe Bir de Sıfıra eşit olur çocuğun ettiğimiz bu özellik en İnci derece de dahil olmak üzere en ince dereceye kadar olan tüm polinomlar için geçerlidir Bunu da yazayım ve A eşittir efaa p üssü A eşittir ef üssü bunu da biliyoruz bu eşitliğe Tyler polinomlarının tanımından hareketle ulaştı bu eşitlik görüntüsü böyle gider nereye kadar polinomun ama noktasındaki en İnci dereceden türevi ne kadar her noktada değil buna dikkat edin yalnızca a noktasında polinomunun a noktası 1'inci dereceden türevi eşittir fonksiyonuna noktasındaki en İnci dereceden türev Buradan hareketle şunu da yapabiliriz örüntüyü Ata fonksiyonuna da uygulayabiliriz ta fonksiyonuna noktasındaki en İnci dereceden türevi eşittir fonksiyonuna noktasındaki enerji dereceden türevi eksi Polina noktasındaki en önce dereceden türevi bu ikisinin en ince dereceye kadar birbirine eşit olduğunu söylemiştik halde bunların tamamı sıfıra eşittir Bu ilginç bir özellik ama aynı zamanda hata fonksiyonunu sınırlandırmak istediğimizde çok da yararlı bir özellik haline gelecek bu videonun Ve muhtemelen bundan sonraki videonun da çekilme nedeni Bunu zaten sınırlandırdığı mızda bir yakın zamanın ne kadar doğru olduğunu görmüş olacağız Özellikle de Merkez noktası dediğimiz noktadan iyice uzaklaştı Evet şimdi gelin bundan sonraki terimlerin türevlerinde inceleyelim enartı 1. dereceden Türe ve Bakalım nereye yazabilirim Burada burada biraz boş ver var hata fonksiyonunun enartı 1. dereceden türevi nedir A noktasındaki değerini de sormuyor eax inen 61 İnci dereceden türevini yazalım eşittir fonksiyonu muzun en 61 İnci dereceden türevi eksi polinom uzun enartı 1. dereceden türev ah yanlış yazdım arkasındaki türevlerini yazmıyoruz a değil de ilk yazmalıyım Öyle değil mi altını Çizdiğim bu in her iki yanının enartı 1. dereceden türevini alıyorum Aslında fonksiyonu muzun enartı 1. dereceden türevi eksi en İnci dereceden polinom uzun enartı 1. dereceden türev tekrar belirttiğim ve al simge olarak en yazabilirim Hatta yanına da ah yazabilir Ya bunlar ne anlama geliyordu Ama noktası civarındaki en İnci dereceden bir polinom olduğunu belirtiyordu Peki en önce dereceden bir polinom un enartı 1. dereceden türevi nedir size bir ipucu vereyim ye eşittir ikisinin ikinci türevi ne olur bu birinci dereceden bir polinom ikinci türevi ne alırsanız sonuç sıfırdır Öyle değil mi veya ye eşittir x karenin 3. türevini alırsak bir türevi iksir ikinci türevi ikidir ve üçüncü türevi sıfırdır şöyle genelleştirme Bilirim en İnci dereceden bir polinom un enartı 1. dereceden türevini alırsak bunun ispatını Siz de yapabilirsiniz Hatta genel bir ispat bile yapabilirsiniz Böylece aklınıza daha iyi yerleşir en ünlülerinden bir polinomun enartı 1. dereceden türevini alırsak sonuç sıfırdır bu terimin Yani en İnci dereceden bir polinom un enartı 1. dereceden türevi sıfır bu eşittir peki buradan devam edeyim hata fonksiyonunun bir diğer adıyla kalan fonksiyonun enartı 1. dereceden türevi eşittir fonksiyonun enartı 1. dereceden türevidir e sonraki Video da bu ifadeye bir üst sınır belirleyebilir miyiz bunu inceleyeceğiz bu ifadelerin mutlak değerlerini sınırlandırılabilir miyiz bunu inceleyeceğiz bu ifadelerin birem değerinden küçük ya da ona eşit olduğunu gösterebilir sake yani onları sınırlandırılabilir isek bunu yapmak için bazı cebirsel işlemlere başvurabiliriz veya ilk başta verilen fonksiyondan da yararlanabiliriz ve böylece sınıflandırabiliriz sonraki videoda görüşmek üzere bu