Çözümlü Örnek: Kuvvet Serilerinden Kosinüs Fonksiyonu

bu elimizde sonsuz bir seri var En eşittir sıfırdan sonsuza kadar -1 üzere en çarpıcı ilk üzeri 6 en bölü iki en faktöriyelin toplamı Bu videoda bu kuvvet serisini değerlendirip eksik köpeği bölü iki eşit olduğunda aldığı Diğerini ne olduğunu bulmaya çalışacağız her zaman olduğu gibi hadi hemen videoyu durdurun ve soruyu benden önce Kendi kendinize çözmeyi deneyin bu arada size bir de ipucu vereceğim buradaki püf noktası bunun hangi fonksiyonun kuvvet serisi olduğunu anlamak ve bunun sonucunu bulmak için de o fonksiyonu kullanmak ve burada bize verilen bu değerde genellikle trigonometrik fonksiyonların aldığı değerlere benzediği için söz konusu olan fonksiyonun trigonometrik bir fonksiyonu olduğunu düşünebiliriz öyle değil mi Hadi Eğer çözümü bulamadıysanız bu söylediklerimi dayanarak soruyu bir kere daha çözmeye çalışalım denediniz ve cevabı bulduğunuza göre Hadi şimdi de yine de birlikte yapalım Buna benzeyen sorularda kuvvet serisinin açılımını O bize neye benzediği konusunda daha iyi bir fikir verebilir en sıfır olduğunda bu burası bir olacak bunlar da bir olacağı için sonuç bir olacak öyle değil mi en bir olduğunda Burası -1 olacak exe üzere 6/2 faktöriyel devam edelim en iki olduğunda Burası pozitif olacak artı yazıyorum artı bir Çarpı x üzeri 12/4 faktöryel Öyle değil mi Hadi bir tane daha -3 olduğunda -1 çarpı üzeri 18/6 faktöryel elde ederiz ve bu bu şekilde sonsuza kadar gider şimdi buna bakınca Az önce size verdiğimiz ucunda düşünerek bunun hangi trigonometrik fonksiyon olduğunu hemen söyleyemiyorum Az önce burada pi bölü iki görünce bunun trigonometrik fonksiyon olabileceğinden bahsetmiştim ya şu an buna baktığımda bu Az önce trigonometrik fonksiyon olduğunu açıkçası söyleyemiyorum Evet doğrudan söyleyemiyorum Ama burası bana bir yerlerden tanıdık geliyor nun Sizce de bu kosinüs X'in kuvvet ya damakların serisine benzemiyor mu kosinüs eksiğin maclaurin serisini daha önce görmüştük ama kısa bir hatırlatma olması adına bu arada Eğer bu tanıdık Gelmediyse bundan önceki videoda kostümü seksi maclaurin serisinin detayına girmiştik önce o videoyu izlemenizi öneririm Evet kostümü seksin Marine serisi birkaç tane terim yazacağım Evet yaklaşık olarak eşit işaretini kullanayım bunun için bir eksikse kare bölü iki faktöryel artı ilk üzeri 4/4 faktöriyel eksi ilk üzeri 6/6 faktöryel benzerliği sizde görüyorsunuz Öyle değil mi birinci Terim aynı işaretleri da aynı eksi artı eksi artı Evet eksi artı eksi artı faktöriyellerde aynı iki faktöryel 4 faktöryel ve altı töreyen aradaki Tek fark XY terimlerin Kuvvetleri Öyle değil mi bu ikskare kent bu hiç üzeri 6 bu üzeri 4 iken bu eksi üzeri 12 ve bu ilk üzeri 6 iken O da eksi üzeri 18 ne düşündüğünüzü biliyorum çünkü bu durumda benim de aklıma hemen x yerine başka bir şey kullanırsam mesela artı be o zaman ilk gördüğüm yerlere artı be yazabilirim mi bu Belki de faydalı bir şey olabilir Peki bu ilksin yerine ilk sinüste bir formunu koyar isek ne olur ilk üzeri 6 ilk üzeri3 üzeri ikiye eşittir Öyle değil mi Evet ilk sizleri 3'ün karesi bu yani İlk üzeri 12'de üzeri3 üzeri dörde e bu ve son olarak da bu üzeri3 üzeri 6'ya eşit Öyleyse buradaki iksirin yerine eksik üzeri3 kullanırsak bu kuvvet serisini elde edebiliriz Peki bunu nasıl yapacağız Tabii ki de bunun kosinüs x üzeri üçe eşit olduğunu düşünerek farklı bir renk kullanayım kosinüs farklı bir renk olmadığı konu Sinüs x üzeri 3 yaklaşık olarak eşittir diyelim wax gördüğümüz yerlere x üzeri 3 koyalım bir Eksi parantez koyayım kare bölü iki faktöryel Bu arada bunları yeşil yazmam gerekiyordu yaklaşık olarak eşittir bir Eksi parantez Evet kare bölü iki faktör yen artı parantez üzeri 4/4 faktöriyel Eksi parantez üzeri bu faktör yenme Şimdi de bu rengi kullanalım kontrolünüz ilk üzeri 3'ü değerlendirdiğimiz için books üzeri 3'ün karesi bu iksi üzeri3 üzeri 4 ve bu da ilk üzeri3 üzeri 6'ya eşit olacak Ve bu da buradaki nin aynısı görüyorsunuz değil mi o halde bu kontörü seks üzeri 3'ün kuvvet serisi imiş ve bunun küpkökü içinde pi bölü 2 de aldığı değeri bulmak için bunun exe küpkök içinde pi bölü iki eşit olduğunda hangi değer aldığını bulmamız lazım Hemen not dediğim Çünkü bunun oldukça ilgi çekici bir durum olduğunu düşünüyorum sizde benimle hemfikir siniz değil mi eşittir n eşittir sıfırdan sonsuza kadar -1 üzeri en çarpı ilk üzeri 6 en bölü iki faktör ye tuzunu baştan yazdım Evet bu Kosinüs 2003'ün kuvvet serisi gösterimidir O halde bunun küpkökü içinde pi bölü 2 de aldığı değere ne olduğunu bulmak için bunun küpkök içinde pi bölü 2 de aldığı değeri ne olduğunu bulmak yeterli olacak ve gördüğünüz gibi bu küpkök ifadesi söz konusu olan ilk üzeri3 olunca da oldukça basit bir hal alıyor Ne şanslıydı emen yazıyorum kosinüs küpkök içinde 1/2 üzeri3 ve bu da kosünüs 1/2 ye eşittir ve bunun da Sıfıra eşit olduğunu biliyoruz işte bu kadar bu