If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

ln(1+x³)’ün Kuvvet Serisi

ln(1+x³)’ün türevini bir kuvvet serisi olarak yazıp, bu serinin integralini alabilir ve böylelikle de arctan(2x)’i bir kuvvet serisi olarak göstermiş oluruz. Şaşırtıcı mı buldunuz? Orijinal video Sal Khan tarafından hazırlanmıştır.

Video açıklaması

bu ekranda sonsuz bir seri var yapmanızı istediğim şey hemen videoyu durdurmanız ve bu seriyi sonsuz bir geometrik seri olarak ifade etmeye çalışmanız Eğer bunu yapabilirsiniz Bir de belirli bir yakınsama aralığı için toplamının neye eşit olacağını bulmaya çalışın Hadi bakalım hislerin hangi yakınsama aralığında bu geometrik serinin yakın sağladığını ve toplamanın ne olduğunu bunu denediniz ve sonucu buldunuz diyeyim şimdi isterseniz birlikte yapalım işe bunu 3 ikskare parantezine alarak başlamak istiyorum Böylelikle yapacağımız şeyleri de kolaylaştırmış olacağımıza inanıyor hemen yazıyor w3x kare çarpı bir eksikse üzeri3 artı üzeri 6 eksik üzeri dokuz bunun ne şekilde devam edeceğini tahmin ettiğinizi düşünüyor Parantezi de aynı renkte kapatsam ya olacak ve ki bir bakalım İlk üzeri 3. o derin aldığımızı farkettiniz diyeyim isterseniz öyle yazalım bu üç x kare çarpı birinci terimi ya da derecesi sıfır olan terimi değil x üzeri 3 üzere sıfır olarak yazabilirim eksi bu iksi üzeri3 üzeri birdir Artı bu iksi üzeri3 üzeri ilk ve eksi eksi üzeri3 üzeri Üçtür bu bu şekilde devam edecek yalnız sürekli işaret değişiyor ve bu konuda da bir şey yapmamız gerekecek bu pozitif Yani ilk üzeri3 üzeri 0 oluyor bu eksiksiz üzeri3 üzeri bir negatif olması gerektiği için şöyle yapalım 3iks kare çarpı bir terimi eksikse üzeri3 üzeri sıfır olarak Plaza cam Evet artık eksikse üzeri3 bu üzere bir eksi birin bir kuvveti -1 dirilis üzeri3 üzeri Bir de ilk üzere Üçtür Evet oldu artı eksikse üzeri3 üzeri iki ve artı eksikse üzeri3 üzeri3 ve böylece artı nokta nokta -1 üzere üç -1 ederek üzeri3 üzeri 3D 359 Evet bu da oldu Böylece ortak oranın Ne oldu çok daha açık olduğu Öyle değil mi orta Kur'an eksikse üzeri3 Peki bu hangi aralıkta yakınsar ortak oranın mutlak değeri Eğer birden küçükse yakın sıcağını biliyoruz Öyle değil Hemen not edip yakınsaması için eksikse üzeri 3'ün yani ortak oranın mutlak değerinin birden küçük olması lazım mutlak değer içinde negatif bir sa bu pozitif bir sayının mutlak değeri aynı olduğundan bunu eksi üzeri 3'ün mutlak değerinin birden küçük olması olarak da yazabiliriz burada eksi üzeri 3'ün birden küçük ve eksi birden de büyük olması anlamına gelir eşitsizliğini ki tarafının kökünü alırsak X'in -1 ile bir Aralık olması gerektiğini buluruz Evet yakınsama aralığınızı belki işlerimizi bu şekilde sınırlandırır Sak toplam ne olur sonsuz geometrik serimiz bu ortak oranın mutlak değeri birden küçük o halde toplamı da birinci Terim yani bununla bunun çarpımı 3.exe kare bölü bir eksi ortak oran Yani bir eksi eksiden artı ise üzeri3 olur Evet şu ana kadar şöyle göster bu onun yakınsama aralığında buna eşit olduğunu gördük şunu kopyalayın ve şuraya yapıştırayım yakınsama aralığında yani x Eğer eksi birde bir arasında değerler alıyor ise bu ikisi birbirine eşit olacak ve şimdi de kalk polis şapkamızı takmak istiyorum çünkü karşımızda oldukça ilginç bir durum var bunun Alışık olduğumuz bir şeyin türevine benzediğini fark ettiniz değil mi Bir artık su üzeri 3'ün türevi nedir 3x kare Öyle değil mi o halde bu bir artık su üzeri 3'ün doğal logaritma sının mutlak değerinin türevidir eğer bana inanmıyorsanız bunun ters süre bini alabiliriz Hatta daha da eğlenceli olsun diye iki tarafında ters süreliğine bunu yapınca bunun ters türevinin geometrik seri gösterimini de elde etmiş olacağız 3D bu videoyu durdurun eşitliğin iki tarafın ters türevini Kendi kendinizi almaya çalışır belki sol tarafın ters türü ve ve sağ tarafın ters türevini almamız gerekiyor Bunun ifadenin kendisi ve türevine benzediğini söylemiştim o halde Uu dönüşümü kullanmak gayet mantıklı unun buna Yani bir artık üzeri üçe eşit olduğunu düşünürsek Evet deuda 3x karede ise eşit olur bu ve de o daha bu da o halde bunu şuradan devam edeyim de o bölümü unun integrali isterseniz bunu bir bölü uçardı de olarak yazalım ve bunun da unun mutlak değerinin doğal logaritma sana eşit olduğunu biliyoruz Bir de sabit olacak Onu da ağartıcı olarak yazayım Bu bir artı eksi üzere üç olduğuna göre bu bir artı eksi üzeri 3'ün mutfak değerinin doğal logaritması artı je5 eşit olacak X'in eksi birde bir arasında olması gerektiğini söylemiştik ve söz konusu Aralık'ta Burası Her zaman pozitif olacağından o takdiri yazmamıza gerek yok Ne eşittir bir artı eksi üzeri 3'ün doğal garip masası artıcı Evet sol tarafta bulacak sağ taraftaysa Bu çok daha kolay Buradan da başka bir sabit geleceği için birbirlerine karışmasını istemiyorum onun için de buna Cebir diyelim sağ tarafta 3x karenin ters türev x karenin ters türevi 253/3 tür bunu 3D çarpınca ilk üzere üç elde ederiz -3 x üzeri 5'in ters türevi ilk üzeri 5'in ters türevi ilk üzere de böyle altıdır burada üç olduğu için eksikse üzeri 6/2 elde edeceğiz Bunu farklı bir renkle yazarsam Sanırım daha iyi olacak Evet bu eksiksiz üzeri 6/2 ye eşit sonra hangi rengi kullanırsan Evet ilk üzeri sekizin ters türevi Bu da hiç üzeri 9/9 dur 3D çarpacağız artık su üzeri 9/3 olacak Bunu da yapalım eksik üzere 11'in ters türevi ilk üzeri 12/12 dir çarpı 3dc eksiksiz üzeri 12/4 bu şekilde devam edeceğiz tabii bir de sabit olacak ama sabiti başa yazacağım onu yollayıp biraz sağ kaydı dayım Evet buraya da C2 yazayım hep C1 artı bunlar bu sadeleştirmek için c2d önce biri çıkarabilirim Bu sayede de bir artı eksi üzeri 3'ün doğal logaritma sının kek sizce bir olacak ama buradan da başka bir sabit elde edeceğimiz için sadece yazalım Bunun yerine artı Bunların hepsi aslına bakarsanız sınırlı aradığımız dan bazı ilk Diğerlerini deneyerek bu sabit ile yaşıt olduğunu bile bulabiliriz ilk eşittir sıfır -1 L1 arasındadır Evet iks mesela sıfır oldu da neler olacağını bakalım ve Cehenneme eşit olduğunu bulalım ilk sıfırsa buradan birim doğal logaritması gelir eşittir c Artı Bunların hepsi sıfır olacak sıfır üzeri 30 üzere altı Evet bunların hepsi sıfır olacağı için buraya sıfır artır sıfır nokta nokta nokta yazayım birim doğal logaritması da yani enenin bir eşit olan q 10 olduğuna göre cd0 olmalıdır Evet c0 mış cenin yerine sıfır yazalım bir miktar integral ile nerelere vardığımız gördüğünüz değil neler yaptığımızı kısaca tekrar edilir Sonsuz bir seri ile başladık bunun geometrik bir seri olarak ifade edilebileceğini gördüğü sevinin yakın sıcağı bir yakınsama aralığı tanımladık bunun için ortak oranın mutlak değerinin birden küçük olması gerekiyordu sonra bunu kullanarak toplamının ne olacağını bulduk iki tarafın integralini alınca da bir artık Süzer 3'ün doğal logaritması için bir açılım elde ettik harika değil bir artık üzeri için doğal logaritması ilk üzeri 3 eksiği 256/2 artık üzeri 9/3 eksiksiz üzeri 12/4 şeklinde başlayan ve böyle devam eden bir Seriye eşitmiş 3 derseniz bu bu sikma gösterimiyle de yazabiliriz bir artık Süzer i3'ün doğal logaritması için mutlak değeri birden küçük olduğunda en eşittir birden sonsuza 2x üzeri3 üzeri en bu birinci Bu ikinci Buda üçüncü kuvveti bölüğe ne eşit bu öksüz 53/1 dir Bu eksi üzeri 6/2 Yalnız bir de işaretlerle ilgilenmemiz gerekiyor değilmi buraya -1 koyalım eksi birin birinci kuvveti negatif olur ama bu pozitif olduğuna göre üzerinde en artı bir olsun oldu değil mi en bir olduğunda Burası bir olur burası da Öksüz'ün 3 en iki olduğunda buradan -1 gelir bu da negatif olduğuna göre doğruyoruz Sonra buradan da 256/2 gelir Evet O ne işte bu kadar umarım sizin için de faydalı bir video olmuştur O