eˣ'in Maclaurin Serisi

Gelin şimdi ilginç bir şey yapalım. Maclaurin serisi bulunan fonksiyonlardan en kolaylarından biri olan e üzeri x'e yakınsayan seriyi bulalım. f x eşittir e üzeri x. Bu fonksiyonu kolay yapan ve e sayısını inanılmaz yapan şey, e üzeri x'in türevinin e üzeri x'e eşit olmasıdır. Yani, bu f üssü x'e eşit f'nin ikinci türevine eşit, f'nin üçüncü türevine eşit, f'nin n'inci any ngee today the nation's türevine eşit. Hepsi e üzeri x'e eşit. e ile ilgili ilk inanılmaz şey, bu. Türevini aldıkça eğri üzerindeki her noktadaki eğim o noktadaki fonksiyon değerine eşit. Çılgınca bir durum. Evet, bunu belirttikten sonra, Maclaurin serisini bulalım. f 0, f üssü 0, f'nin 0'daki ikinci türevi vesaireyi hesaplamamız lazım. e üzeri 0 eşittir 1. Bu f 0'a eşit f üssü 0'a eşit, f'nin 0'daki herhangi türevine eşit. Bu nedenle, Maclaurin serisini bulmak kolay oluyor. e üzeri x'in Maclaurin serisiyle belirtmek istersek, sonsuz adede doğru terim ekledikçe serinin değeri, fonksiyonun değerine yaklaşacaktır. Seriyi yazmaya başlayalım: Kosinüs ve sinüs için hangi renkleri kullanmıştım? Pembe ve yeşil. Şimdi sarıyı kullanayım. f 0 eşittir 1 Artı, f üssü 0 çarpı x. f üssü 0 da 1. Artı x. Artı, bu da 1. Yani, x kare, bölü 2 faktöriyel. Bunların hepsi 1. Bu 1. Bu 1. Fonksiyonumuz e üzeri x ise, bu dördüncü terim de 1. O zaman, x küp, bölü 3 faktöriyel. Artı x küp bölü 3 faktöriyel. Evet, sanıyorum, örüntüyü gördünüz, değil mi? Terimleri eklemeye devam ediyoruz. x üzeri 4, bölü 4 faktöriyel artı x üzeri 5, bölü 5 faktöriyel, artı x üzeri 6, bölü 6 faktöriyel. Çok ilginç bir örüntü ortaya çıkıyor. e üzeri x'in 1 artı x artı x kare bölü 2 faktöriyel, artı 3 küp bölü 3 faktöriyel, ile ifade edilmesi süper. Bu durum, başka ilginç sonuçlar da veriyor. Örneğin, e'ye yaklaşık bir değer bulmak isterseniz, x yerine 1 koyarsınız. Bu e üzeri 1 dersiniz. Ve, polinomun 1 için değerini bulursunuz. x burada 1'e eşitse, şurada da 1'e eşit deriz. Ve şöyle buluruz 1 artı 1 artı, 1 bölü 2 faktöriyel artı 1 bölü, 3 faktöriyel, artı 1 bölü, 4 faktöriyel. Ve bu şekilde, sonsuza kadar devam ederiz. Şuraya, 1 bölü 1 faktöriyel de diyebilirdik. Esas ilginç olanı, bunun e'yi ifade etmenin başka bir yöntemi olması. e'nin 2 artı 1 bölü 2 artı 1 bölü 6 gibi gösterilmesi. Buna devam ettikçe e'ye yaklaşıyoruz. Ama ilginç olan tek şey, bu değil. Kosinüs x ve sinüs x'in Maclaurin serilerine baktığımızda, buarada Kosinüs x ve sinüs x'i şuraya kopyalayayım. Bu seriler arasında bir bağlantı görüyor muyuz? Daha önce, kosinüs ve sinüs arasında bir bağlantı tahmin etmişsinizdir. Ama ya e üzeri x? Şuraya baktığımızda, kosinüs x, şu terimle bu terimin toplamına çok benziyor. Gerçi şuraya bir eksi koymamız gerekebilir. Yani, bu terimin başında eksi olanı, artı bu terim olmalı. Artı şuradaki terimin başında eksi olanı. Ve, sinüs x de şuna benziyor: Bu terim artı, şu terimin, başında eksi olanı. Artı bu terim artı şu terimin başında eksi olanı. Eksileri bir şekilde bağdaştırabilirsek, e üzeri x'e benzetebiliriz. Veya en azından, e üzeri x'in polinom gösterimine benzetebiliriz. Yani, e üzeri x'in polinom gösterimi kosinüs x ve sinüs x'in polinom gösterimlerinin birleşimine benziyor diyebiliriz. Bu, gittikçe ilginçleşmeye başladı. Bileşik faiz veya türevi kendine eşit bir fonksiyon ile birim çemberden çıkan sinüzoidal fonksiyonlar arasındaki bağlantıyı görmeye başladık. Burada bir teorik bağlantı var. Bu videoyu burada bırakalım. Bir sonraki videoda, bu üç büyüleyici fonksiyonu nasıl bağdaştıracağımızı size göstereceğim.