Koşullu Olasılık ve Bağımsız Olaylar

Olasılık konusunda iki olayın bağımsız olduğunu söylediğimizde, bir olayın olmasının diğer olayın olasılığını değiştirmediğini söylüyoruz.

Örneğin, hilesiz bir paranın yazı tura atışında "tura" gelme olasılığı $1/2$‍'dir. Peki ya yazı tura atılan günün Salı günü olduğunu bilseydik? Bu, "tura" gelmesi olasılığı değiştirir miydi? Tabii ki değiştirmezdi. Salı olduğu bilindiğinde, "tura" gelme olasılığı hala $1/2$‍'dir. O zaman, yazı tura atışının sonucuyla günün Salı olması bağımsız olaylardır; Salı olduğunu bilmek, "tura" gelme olasılığını değiştirmez.

Her durum bu kadar açık değildir. Ya cinsiyet veya hangi elin kullanıldığı (solak ve sağlak)? Bir kişinin cinsiyetiyle solak veya sağlak olması tamamen bağımsız olaylar gibi görünmektedir. Yine de olasılıklara baktığımızda, tüm kişilerin $\mathrm{\%}10$‍'unun solak, ama erkeklerin yaklaşık $\mathrm{\%}12$‍'sinin solak olduğunu görürüz. O zaman, bu olaylar bağımsız değildir, çünkü rastgele bir kişinin erkek olduğunu bilmek onun solak olma olasılığını artırır.

Buradaki temel fikir şu: Olasılıkta olayların bağımsız olup olmadığına bakarız.

Eğer $P(\text{A }|\text{ B})=P(\text{A})$‍ ve $P(\text{B }|\text{ A})=P(\text{B})$‍ ise, iki olay bağımsızdır.

Araştırmacılar, iki üniversitenin son dönemdeki mezunlarıyla yıllık gelirlerine ilişkin bir anket yaptı. Aşağıdaki iki yönlü tablo bu ankete katılan $300$‍ öğrenciye ilişkin veriyi göstermektedir.

Bu verilerden rastgele bir mezun seçtiğimizi varsayın.

Koşullu olasılık kullanarak kontrol edelim.

İşte önceki örnekteki veriler:

Bu verilerden rastgele bir mezun seçtiğimizi varsayın.

Koşullu olasılık kullanarak kontrol edelim.

Gerçek hayattan veri setlerinde olayların bağımsızlığına baktığımızda, mükemmel eşitlikte olasılıklar elde etmek çok nadir görülür. Şans oyunları içermeyen neredeyse tüm gerçek olaylar bir derece bağımlıdır.

Pratikte, genelde olayların bağımsız olduğunu varsayarız ve örneklem verisi üzerinde bu varsayımı test ederiz. Olasılıklar çok farklıysa, olayların bağımsız olmadığı sonucuna varırız. Çıkarımsal istatistik konusunda bu süreç hakkında daha çok şey öğreneceğiz.

Son olarak, veriler iyi tasarlanmış bir deneyden gelmediği sürece, neden sonuç ilişkisi hakkında bir sonuca varmaktan kaçının. Soruyu zorlaştırmak için, 2. Örnekteki iki üniversite mezununun gelirleri arasındaki farkı yaratan başka dış etkenler —üniversiteler dışında— düşünebiliyor musunuz?