İleri Seviye Kalkülüs Soru Çözümü: Dönel Katı Cismin Hacmini Bulmak İçin Disk Yöntemi

C kısmı, R - yani buradaki bölge - y eşittir 1 yatay doğrusu etrafında döndürüldüğünde oluşan cismin hacmi için bir integral ifadesi bulunuz. Bu integralin değerini bulmayınız. Pekala.. İfadeyi bulalım değerini bulmayalım. Bunu şöyle düşüneceğiz. Alttaki fonksiyonu, f x'i y eşittir 1 etrafında döndürdüğüm zaman bulduğum hacimden üstteki fonksiyonu, g x'i y eşittir 1 etrafında döndürdüğüm zaman bulduğum hacmi çıkaracağım. Burada disk yöntemini kullanıyorum. Başka analiz videolarında disk yöntemini daha ayrıntılı, daha detaylı bir şekilde anlattım. Şimdi f x bu eksen etrafında döndürüldüğünde oluşan hacmi bulalım. Bunun için bu hacmin ince dilimlerini gözümüzde canlandıralım. Şuraya çiziyorum. Bu uzunluk, diskin yarıçapı. Şimdi diskin tamamını çizeyim. Bunu döndürürsek, bir disk oluştururuz, şöyle bir disk. Diskin derinliği için ise, metal bir paranın kenarını düşünün. Paranın derinliği şurada. Sabit bir derinliktir, buna da dx diyelim. Metal paranın alanı nedir? Metal paranın alanı eşittir Pi çarpı paranın yarıçapının karesi. Peki, paranın yarıçapı nedir? Paranın yarıçapı bu yüksekliktir - şuradaki yükseklik. Peki, o nedir? 1 eksi f x. Bu, yarıçapa eşittir. Yarıçap buymuş. Buna göre, paranın yüzünün alanı eşittir, Pi çarpı yarıçapın karesi, yani Pi çarpı 1 eksi f x'in karesi. Bu, şuradaki mavi alandır. Paranın hacmini bulmak için bunu paranın derinliğiyle çarparım. Yani d x ile. Bu cismin tamamının hacmini bulmak için tüm bu hacimlerin toplamını alırız. Buradaki diski gördük, şurada mesela başka bir disk olabilir, şurada da başka bir disk. Bu disklerin tamamını, hepsini toplamak istiyorum. Hacim için x 0'dan 1 bölü 2'ye giderken, Pi çarpı 1 eksi f x'in karesi - bunlar bu disklerin yüzey alanları- sonra da bunu her diskin derinliğiyle çarpıyorum. Bu ifade her diskin hacmini veriyor ve bunların hepsini topluyorum. f x'i y eşittir 1 etrafında döndürdüğümde oluşan hacim, bu. Buraya d x yazmam lazım. Bu ifade ise, her bir diskin hacmi. f x'i y eşittir 1 etrafında döndürdüğüm zaman oluşan hacmi bulduk. Buna f x'in hacmi diyeyim. Aynı mantığı kullanarak, g x'i y eşittir 1 etrafında döndürdüğüm zaman oluşan hacmi bulabiliriz. Bu hacmi bulmak için, 0'dan 1 bölü 2'ye Pi çarpı 1 eksi g x'in karesi çarpı d x'in integralini alırız. 1 eksi g x, diskin yarıçapıdır. Bizden istenen hacim, R f x ile g x arasındaki bölgedir, yani hacim bu iki hacim arasındaki fark. Bu dış hacimden içteki boş kısmı çıkaracağız. Bu bölgenin hacmi, 0'dan 1 bölü 2'ye Pi çarpı 1 eksi f x'in karesi d x'in integrali eksi 0'dan 1 bölü 2'ye Pi çarpı 1 eksi g x'in karesi d x'in integralidir. Bu gayet geçerli bir cevaptır, ama limitler ve integralin değişkeni aynı olduğu için sadeleştirebiliriz. Pi çarpı 0'dan 1 bölü 2'ye 1 eksi f x'in karesi eksi 1 eksi g x'in karesi, bunun tamamı d x. Tabi sınavdan yanıt verirken, f x ve g x yerine eşit oldukları ifadeleri yazmanız iyi olur. Yani daha doğru bir cevabı şöyle verebilirsiniz. Pi çarpı 0'dan 1 bölü 2'ye 1 eksi 8 x küpün karesi, eksi, 1 eksi sinüs Pi x'in karesi. Ve bunun tamamı çarpı d x'in integrali. Cevabımız budur. Sanıyorum neden çözümü istemediklerini, sadece integrali kurmamızın yeterli olduğunu da anlamış oldunuz. Hoşçakalın.