Ana içerik
Güncel saat:0:00Toplam süre:5:15

İleri Seviye Kalkülüs Soru Çözümü: Parçalı Fonksiyon Türevi

Video açıklaması

b kısmı. x eşit değildir 0 için f üssü x'i parçalı bir fonksiyon olarak ifade ediniz. f üssü x eşittir eksi 3 denklemini sağlayan x değerini bulunuz. Tahminen ilk merak ettiğiniz şey, türevin x eşittir 0'da niye tanımlı olmadığı olabilir. Çünkü 0'a soldan yaklaştığımızda elde ettiğimiz türev ile sağdan yaklaştığımızda elde ettiğimiz türevin farklı olduğunu göreceksiniz. Bu yüzden bizim için sıfırı çıkarmışlar. Şimdi diğer x değerleri için türevin ne olduğunu bulalım. f üssü x eşittir, 0'dan küçük x değerleri için bu ilk ifadenin türevini alacağız. 1'in türevi 0, eksi 2 sinüs x'in türevi ise, sinüs x'in türevi kosinüs x. Yani eksi 2 kosinüs x olacak. Eksi 2 kosinüs x, x küçüktür 0 için. 0'dan büyük x'ler için ise, Bu ifademiz var, zincir kuralını uygulayacağız. Eksi 4 x'in x'e göre türevi eşittir eksi 4. e üzeri eksi 4 x'in eksi 4 x'e göre türevi ise, e üzeri eksi 4 x. Şöyle de diyebilirsiniz. Bu, içteki ifadenin türevi çarpı dıştaki ifadenin içteki ifadeye göre türevi. İki türlü de x büyüktür 0 için eksi 4 e üzeri eksi 4 x bulursunuz. İlk kısmı bulduk, f üssü x'i parçalı bir fonksiyon olarak ifade ettik. x eşittir 0 için türevi tanımlamadık çünkü bu noktada türev tanımlı değil. Şimdi ikinci kısmı yapalım. f üssü x eşittir eksi 3 denklemini sağlayan x değerini bulacağız. Bu parçalı olmasaydı, şöyle derdiniz. f üssü x eşittir eksi 3. f üssü x'in ifadesini eksi 3'e eşitleyip cebir kullanarak çözerdiniz. Ama burada hangi ifadeyi kullanacağınızı bilemeyebilirsiniz. Eksi 3'ü veren x 0'dan küçük mü, büyük mü bilmiyoruz. Yani hangi ifadeyi kullanacağımı bilmiyoruz. Ama bu fonksiyonları biraz incelersek, kosinüs x'in sınırlı bir fonksiyon olduğunun farkına varırız. Kosinüs x sadece eksi 1 ile 1 arasında değer alabilir. Yani eksi 2 kosinüs x eksi 2 ile artı 2 arasında değer alır, değeri hiçbir zaman eksi 3 olamaz. O zaman, eksi 3 değerini alacak ifade türevdeki bu ifade olmak zorunda. Yani bu ifadeyi alacağız. Ve umarım bu ifadeyi eksi 3 yapacak 0'dan büyük bir x değeri bulacağız. Çözmeyi deneyelim. Eksi 4 e üzeri eksi 4 x eşittir eksi 3. İki tarafı eksi 4'e bölebiliriz. e üzeri eksi 4 x eşittir eksi 3 bölü eksi 4 eşittir 3 bölü 4. İki tarafın doğal logaritmasını alabiliriz. Eksi 4 x eşittir 3 bölü 4'ün doğal logaritması. Buraya doğal logaritma koyabilirsiniz, buraya da koyabilirsiniz. Bu ifade e'nin hangi kuvvetinin e üzeri eksi 4 x vereceğini soruyor. Yani kuvvet, yani bu kuvvet eksi 4 x. Ve sağ tarafın da doğal logaritmasını alıyoruz. Sonra da x'i bulmak için iki tarafı eksi 4'e bölüyoruz. Veya iki tarafı eksi 1 bölü 4'le çarparsınız ve x eşittir eksi 1 bölü 4 çarpı 3 bölü 4'ün doğal logaritması dersiniz. Yani bu ifadeyi kullandık. Şimdi bu x değerinin 0'dan büyük olduğunu teyit etmemiz gerekiyor. İlk baktığımızda bu bize negatif bir sayı gibi gelebilir, ama 3 bölü 4, 1'den küçük bir sayı olduğu için 3 bölü 4'ün doğal logaritmasının aslında negatif olduğunu hatırlamamız gerekiyor. e üzeri negatif bir üs. Bu, negatif olduğu için, şu kısım da negatif olduğu için, negatif çarpı negatif pozitiftir, yani bu sayı pozitif olacak. Buradaki bir pozitif değerdir, demek ki yanıtımız bu ifadeden geliyormuş. x eşittir eksi 1 bölü 4 çarpı 3 bölü 4'ün doğal logaritması. Veya f üssü eksi 1 bölü 4 çarpı 3 bölü 4'ün doğal logaritması eşittir eksi 3. Ve cevabı bulduk. Şahane!