İleri Seviye Kalkülüs Soru Çözümü 1d

2008’deki bir yerleştime sınavının 1. sorusunun son kısmını çözüyoruz. Soruyu tekrar edeyim. R bölgesi küçük bir gölün yüzeyinin modelidir. R'nin y ekseninden x uzaklıktaki her noktasında suyun derinliği, h x eşittir 3 eksi x fonksiyonuyla belirlenmiştir. Göldeki suyun hacmini bulunuz. Burada gölün yüzeyini çizmiştik. Ve derinliğini çizmeye çalışıyordum. x 0'a eşit olduğunda, gölün derinliği 3 metredir, diyebiliriz. Ve x 2 olduğunda, gölün derinliği 1 metre. Hacmi bulurken de aynı şekilde düşünmeliyiz. Gölün herhangi bir noktasındaki kesit neye benzer? Bakalım. Şöyle bir kesit alalım. ölün yüzeyindeki yükseklik bu iki fonksiyon arasındaki fark olacak. Üstteki fonksiyonun sinüs Pi x, alttaki fonksiyonun da x küp eksi 4 x olduğunu biliyoruz Şu kesiti çizmeye çalışayım, şimdi Kesitin yüzeyindeki enin bu fonksiyon eksi şu fonksiyon olduğunu biliyoruz, öyle değil mi? Aynı kesit, en bu fonksiyon eksi şu fonksiyon olacak. Sinüs Pi x eksi x küp eksi 4 x. Peki, buradaki yükseklik neye eşit? Bu da belirtilmiş. Yükseklik veya gölün derinliği eşittir 3 eksi x. Yani bu, 3 eksi x olacak. Dolayısıyla gölün kesitinin alanı eşittir sinüs Pi x eksi x küp eksi 4 x çarpı gölün derinliği olacak Yüzey eni çarpı derinlik. Yani bu çarpı 3 eksi x. Her kesitin alanını böyle ifade ederiz. Biz tüm gölün hacmini istiyoruz. Göldeki bu ince dilimlerin hepsinin hacimlerini alırız. Yani her kesitin alanını çok küçük bir genişlikle çarparız ve ince bir dilim buluruz. Yani bunu d x ile çarparız ve integral alırız. x eşittir 0'dan x eşittir 2'ye bu ince dilimleri toplarız. Böyle yapalım. x eşittir 0'dan x eşittir 2'ye integral alıyoruz. Bu, yine zor bir integral. Kısmi integral biliyorsanız yapabilirsiniz, ama biraz karışık olabilir. Bu sınavdaki 3 soru için sadece 45 dakikanız olduğu düşününürsek, burada hesap makinesi kullanmanızı istediklerini varsayıyorum. O yüzden integralini değerini hesap makinesiyle bulalım. Bakalım. Hesap makinemizde c kısmının cevabı zaten var. Bir önce yazdıklarımıza ulaşabiliriz. C kısmı ile D kısmı arasındaki tek fark, C kısmında bu ifadenin karesini almış olmamız. Şimdi karesini istemiyoruz, 3 eksi x ile çarpmak istiyoruz. Bunu yazalım. Kareyi silelim. Artık kare almıyoruz. Bastığım tuşları görmenizi istiyorum. 3 eksi x'i de ifadeye yerleştirelim. Şimdi kontrol ediyoruz. Sinüs Pi x eksi x küp artı 4 x, evet, bu şununla aynı. Çarpı 3 eksi x. x'e göre integral alıyoruz ve integrali x eşittir 0'dan x eşittir 2'ye alıyoruz. Evet enter tuşuna basalım. Hesaplıyor. Cevap 8,37. 8,37. Bence bu mantıklı bir cevap. Gölün hacmi 8,37. Umarım bu çözümü faydalı buldunuz. Her gün bu sorulardan birkaç tane çözmeye çalışacağım. Bir sonraki videoda görüşmek dileğiyle Hoşçakalın :)