İleri Seviye Kalkülüs Soru Çözümü 2b/c

ve tekrar merhaba 2. sorunun B şıkkında kalmıştık şimdi soruyu bir kere daha okuyalım biletlerin satışa çıktı 4 saatte kuyrukta bekleyen Ortalama insan sayısını tahmin etmek için üç alt aralıklı trapezoid bir toplam kullanın Bir önceki videoda bize verilen değerleri grafik üzerinde göstermiştik Şimdi de biletlerin satışa çıktığı ilk 4 saatte kuyrukta bekleyen Ortalama insan sayısını tahmin etmek için üç alt aralıklı trapezoid bir toplam kullanmamız gerekiyor kulağa oldukça zor bir şeymiş gibi geliyor öyle değil mi Hele ki trapezoid toplam Oda ne demek ki diye düşündüğünüzü tahmin ediyorum kafanızın karışmış olması son derece normal sakın Endişelenmeyin Bu arada son 20 yılda Benim de herhangi bir kalkülüs ders almadığını eklemek istiyorum bu yüzden bize ne dediklerini bir kere daha okuyalım ve anlamaya çalışalım bir fonksiyonun ortalama değeri ne anlama gelir kalk polis öğrendiğiniz zaman hatırlamıyordu olabilirsiniz hemen hatırlayalım bu ortalama değeri mesela ev fonksiyonunun ortalama değeri olsun a ve b noktalarını ele alalım efic serisinin altında kalan alanın bu İki nokta arasındaki farka bölümüyle bulunur Evet adam değil Hatırladınız diyeyim bunun kalkülüsün ikinci temel Teoremi olarak adlandırıldığını da duymuş olabilirsiniz Her neyse mantıklı olduğunu fark ettiğiniz Öyle değil mi Ortalama değer için eğri altında kalan bu alanı şeklin tabanı olan ve eksi Ala bölüyoruz bakın fonksiyonun ortalama değerini bulmak için bahsi geçen fonksiyonda bu olsun ortalama değerli tabanı çarparsak bize integralini vereceği bu alanı bulmuş oluruz Evet İsterseniz bu şekilde düşünebilirsiniz Hemen yazalım ve eksi a çarpı fonksiyonun ortalama değeri bizi a ve b arasında eğrinin altında kalan alanı Yani bu integrali verir Şimdi de bunu buraya uygulamamız o lt irisinin altında kalan alanı tahmin etmek için trapezoid toplamı kullanalım sonra da B eksi aya böleriz ve eksi ab4 Adası kurulduğundan dörde eşit olacak Bunu yapınca ilk 4 saatte kuyrukta bekleyen Ortalama insan sayısını bulmuş olacağız Hadi O Zaman Şurayı bir temizliğim Tekbir Aralık yerine alanı tahmin etmek için trapezoid bir toplam kullanacağım bize 36 Aralık demişler Öyle değil mi aslına bakarsanız çekte bakınca bu alt aralıkların neler olacağını ya da olması gerektiğini anlamak son derece kolay isterseniz çizdiğim bakın birincisi kesikli çizgilerle çiziyor ve bu ikincisi Bu da sonuncusu görüyorsunuz diyeyim elimizde 1 2 ve 3 tane trapezoid ya da yamuk diyelim değil mi yamuk var ve yapmamız gereken şey de bu yanıkların alanlarını hesaplamak da iyi görebilmeniz için Farklı renkler kullanarak biraz daha düzgün çizmeye çalışayım Bir bakalım doğru aracı kullanırsam Sanırım daha iyi bir çizim olacak evet bu birinci yok bu ikincisi ve bu da üçüncüsü bu yamukların alanlarını bulup topladığı ve eğrinin altında ve sıfırla 4 arasında kalan alanı bulmuş olacak bir de dörde böleceğim ve sorunun b şıkkı da bitmiş olacak 1. yamuğun alanı ile başlayalım yamuğun alanı nasıl bulunuyor tabanı alacağız Şu an buradaki yamuğun alanını bulmaya çalışıyoruz tabanı alacağız ve bu yamon tabanı bir çarpı yüksekliklerin ortalaması Burası 120 Burası da 156 olduğuna göre ortalamaları da 126-150 altı 276 eder ve ikiye bölün cd138 bluz öyle değil o halde bir bu alanı 138 çarpı birden 138 birim kare sıra geldi ikinciye bunun tabanı iki birim yüksekliklerinin ortalaması ise bu sefer w156 ile 170 altının ortalamasını almamız lazım başka bir değişle bu iki noktanın orta noktasını bulmamız gerekiyor ve bu çok da kolay önlediğini 156 ile 170 altının orta noktası 166 dır iki çarpı 166 son olarak bu yangın alanında Bulut tabanlı bir Burası 3 parası 4 olduğuna göre Evet bir olmalı bir çarpı yüksekliklerin ortalaması 170 altıyla 126'nın ortalamasını alacağız yazıyor 1/2 çarpıcı 176 artı 126 Nadir hesap makinesi kullanalım hata yapmak istemiyorum Evet 100 16 artı 126/2 151 ediyormuş bu alanda 151 olduğuna göre Şimdi de alanları toplayalım bu üç yağmurun alanlarını toplayacağınız bir kere daha söyledikten sonra 138 artı iki çarpı 166 artı 151 Evet toplama bizden fonksiyonun ortalama değerini istedikleri unutmayın demek istediğim Ortalama değer için alanı taban uzunluğuna bölmemiz gerektiğinden bunu bir de dörde böleceğiz taban 4 Öyle değil mi öğlen saat 12'den saat dörde kadar dört saat geçmiştir böyle dört yazıyorum ve sonuç 155,76 36 aralıklı trapezoid de toplam kullanarak biletlerin satışa çıktığı ilk 4 saatte kuyrukta bekleyen Ortalama insan sayısı için tam iyi bir deer bulduk 155 1,25 harika Biraz Daha vaktimiz olduğu için isterseniz C şıkkında bir göz atabiliriz burada grafiği Kullanacağımı düşünüyorum ama bu kısmı temizliği Mehmet bunu da silebilirim işimize yaramayacak şeylerin hepsini silerim Tüm bunları sileyim ki eğer grafiği kullanacaksak kafamız karışmasın belki oldu sayılır J de buraya kopyalayıcı alacağım Evet sıfır küçük ya da eşitte Küçükyalı eşit dokuz aralığında L sütyenin sıfır eşit olması gereken en küçük değer hangisidir Cevabınızı açıklayın demişler ve üst üste bu fonksiyonun türevi bu noktaları birleştirdiğimizde bu eğrinin neye benzediği ile ilgili bir fikrimiz olsun istemiştim öyle köşeli bir grafik elde yıkama Aslında bunun bir eğri olduğunu aklınızdan çıkarmamanız lazım Eğer olacağını nereden mi Biliyorum güzel türü 2000'li deliklerine hatırlıyorsunuz değil mi Aslında bakarsanız iki kez türevlenebilir olduğunu söylemişlerdi Bu da gerçek fonksiyonun grafiğini sürekli olduğu ve buna benzeyen bir şey olacağı anlamına gelir görebileceğiniz bir seçim bunu bireye çevirmeye çalışıyorum tam olarak böyle olacak demediğin de altını çizeyim Evet buna benzeyen bir eğri olacağını düşünüyorum Buradan böyle devam ediyor bu yerel maksimuma geliyor ve Buradan da aşağıya doğru iniyor Anlaştık mı Gerçek fonksiyonun birer olacağını aklınızdan sakın çıkarmayın belki bizden ne istemişlerdi lei sütyenin sıfır eşit olması gereken en düşük değer hangisidir bekle üst üste Sıfıra eşit olduğundan olur bu yerel bir minimum ya da maksimum da olduğunuz anlamına gelir yerel maksimum ve minimum larda türevin 0 Evet şu anda biliyoruz isterseniz göz kararı düşünmeye çalışalım bakın Örneğin Burada bir yerde yerel bir Maximum noktası olmalı benim çizime göre bahsettiğim Maximum noktası burada benzer şekilde bu aralıkta da Buralarda bi yerlerde yerel bir minomal işte böyle ve bu Aralıkta bir tane daha Maximum noktası var göz kararı baktığımızda eğrinin iki Maximum Bir tane de minimum noktası olduğunu söyleyebiliriz Bu da eğitimin en az üç nokta da Sıfıra eşit olması anlamına geliyor bizden açıklama yapmamız da istiyorlar aslına bakarsanız rolle Teoremi kullanabiliriz ama bunu en basit şekilde ortalama hızla üç defa işaret değişikliği vardır şeklinde açıklayabiliriz ortalama hız değil Delete nin değişim oranı dersem Belki daha doğru olur daha kalın bir çizgi kullanayım buradan buraya geldiğimizde mi Evet değişiyor buradan buraya geldiğimizde de ve burada da bu sınava giren Ben olsaydım fonksiyon iki kez türevlenebilir ondan yani türevi sürekli olduğundan isterseniz önemli noktalar da not edelim Evet türevi süreklidir dedik ve türev üç defa işaret değiştiriyor türev bu Aralıkta Pozitif ya da en azından ortalaması pozitif diyeyim Bu noktadan sonra ise negatif oluyor ve türev sürekli olduğundan dolayı yani atlama yapmadığından dolayı bu Aralıkta pozitif olmalı bu Aralıkta bir yerde negatif alıp bunları yazdığınızda Tabii ki de daha iyi olacak ve bu daha burada bir yerde bir işaret değişimi olduğu anlamına geliyor Aynı argümanı bu aralıklarla bu Aralık için de kullanabiliriz ve Burası ve burası içinde cevabı o zaten Şurayı bayağı açtığım için değişik kını bir sonraki videoya bırakıyorum