If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Ortalama Değer Teoremi (Eski)

Sal'in Ortalama değer teoremine giriş yaptığı & ve anlamını sezdirdiği eski bir video. Orijinal video Sal Khan tarafından hazırlanmıştır.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.

Video açıklaması

Ortalama değer teoremi evet bunu anlatmam için birkaç istek aldım ve bu videoda bu konuyu yapalım. Ortalama değer teoremi. Güzel bir teorem, mantığını kolayca anlıyoruz. Ama ispatlaması çok kolay değil ve bir yandan da bu konuda hislerim biraz karışık çünkü çok mantıklı bir teoremi, analiz kitaplarında fonksiyon notasyonu ile çok kafa karıştırıcı bir şekilde ifade ediyorlar. Şimdi bu videonun bu konuya açıklık getireceğini umuyorum ve geri bildiriminizi merak ediyorum. Şimdi. Ortalama değer teoremi neyi ifade ediyor? Eksenleri çizelim. Önce, görsel bir şekilde anlatacağım. x ekseni. y ekseni. Bir f x fonksiyonumuz olduğunu varsayalım. f x'i çizeyim. Bu iyi güzel. f x fonksiyonuna bazı kısıtlamalar getireceğim. Kı sıt la ma lar.evet bu kelimeyi bir türlü söyleyemiyorum enteresan. f x sürekli bu kısıtlamalar şunlar. f x sürekli ve türevli olmak zorunda. Çoğunuzun bu sözcükleri duyunca korktuğuna eminim. Bir matematikçinin söyleyebileceği soyut sözlere benziyor. Sürekli, türevli falan filan. Süreklinin anlamı, eğri boyunca tüm noktaların birbirine birleşik olması. Ve burada, kısıtlamalar kapalı bir aralıkta geçerli. Bu da çok matematiksel bir terim oldu. Sıklıkla, a'dan b'ye kapalı bir aralık, deriz. Bunun anlamı a küçük sayı olsun. Buna a diyelim kaç olduğunu bilmiyoruz. Mesela, eksi 5 olsun. Buna da b diyelim. Şimdi kapalı bir aralıktan kastımız fonksiyon a ve b arasında her noktada tanımlı olmalı ve aynı zamanda a ve b'de de tanımlı olmalı. Açık aralık dersek, fonksiyon, sadece a ve b arasındaki her noktada tanımlı olacak. Ama, a ve b'de tanımlı olmak zorunda değil. Fonksiyon sürekli, türevli olmak zorunda. Kapalı aralıkta tanımlı olduğunu varsayalım. Aralığın notasyonu da şöyle, a b. Yani, fonksiyon a ve b arasında ve dahil tüm x değerleri için tanımlı olmalı. Açık aralık olsaydı, şöyle yazardık. a ve b yazardık. Bunun anlamı da, a ve b arasında, ama a ve b hariç, tüm sayılar. Şimdi bunu görmezden gelelim. Ortalama değer teoremine geri dönelim. Umarım, sürekli ne demek, biliyorsunuz sürekli. Şuraya sürekli olmayan bir fonksiyon çizeyim. Sürekli olmayan bir fonksiyon buna benzer. Şöyle gidip, şurada başlayıp, şöyle uzanır. Öyle değil mi? Fonksiyon sürekli, sürekli, sürekli ve sonra atlıyor. Bu atlama, fonksiyonu süreksiz yapar. Yani sürekli olmasını engeller. Fonksiyon sürekli olmak zorunda. Türevli ne demek? Peki türevli demek aralığın her noktasında, türevi alabilmek demek. Yani, türevini alabilirsiniz demek. Başka ne anlama gelebilir? Türevinin grafiğini çizersek, bu grafik de sürekli olur. Şimdi bunu biraz düşünmenizi istiyorum. Bu videoda size sürekli ama türevli olmayan bir fonksiyon göstereceğim ve o nedenle ortalama değer teoremi işe yaramayacak. Neyse şimdi ortalama değer teoremine geri dönelim. Genelde kullandığımız fonksiyonlar, bu üç koşulu da sağlar. Ama limit sorularında bu koşullara uymayan fonksiyonlarla karşılaşabiliriz. Neyse, fonksiyona geri dönelim. Bu fonksiyon, tüm bu koşulları sağlıyor. Teorem, a ve b noktası arasındaki eğimi bulmamızı istiyor. a noktası ile b noktası arasındaki eğim nedir? Eğim, düşey uzaklığın, yatay uzaklığa oranıdır, öyle değil mi? Eğimi çizmeye çalışayım. Yatay uzaklık, şu uzaklık oluyor. Bu da bu da düşey uzaklık oluyor. Bu nokta, a, f a. Bu nokta da b, f b. O zaman, a ve b arasındaki eğim nedir? Bu uzaklığı nasıl buluruz? f a'dan f b'ye ulaşmak için ne kadar yukarı çıktık? Düşey uzaklık düşey uzaklık f b eksi f a olacak. f b eksi f a. Peki, yatay uzaklık nedir? b eksi a'dır. Eğimini bulduğumuz doğruyu şöyle çizebilirim. Bu iki noktadan geçirebiliriz, ama bu noktalardan geçmek zorunda değil. İki nokta arasındaki eğimi, böylece bulduk. Peki, ortalama değer teoremi ne diyor, ne söylüyor? Eğer f x, bu kapalı aralıkta tanımlı, sürekli ve türevli ise bu aralıkta bir c noktasında, f üssü c, bu şeye eşit olacak. Bu, f üssü c'ye eşit. Peki, bu ne demek? Eğer kapalı aralıkta tanımlı, sürekli ve türevliyse a ve b arasında, f üssü c'nin, c'deki teğetin eğiminin a ve b arasındaki eğime eşit olduğu bir c noktası bulabiliyorum. Bu ne anlama geliyor görsel olarak bakalım. Eğri üzerinde şimdi eğimin a ve b arasındaki eğime benzediği bir nokta bulabilir miyiz? Tabii. Şu nokta olabilir mi? Çizdiğim şekil biraz kabataslak oldu. Bu noktanın eğimi şöyle, diyebilirim. Bu fonksiyonun kuralını bilmiyorum, ama görsel olarak, şöyle bir c noktası seçtim. c noktası, şu nokta olabilir. Şimdi bu sonuca nasıl varıyoruz? Çünkü, f üssü c, bu teğetin eğimi bu teğetin eğimi de a ve b arasındaki eğimin aynısı. Yani, f üssü c bu ve bu eğim, aralığın uç noktaları arasındaki eğime eşit. Bu eğri üzerinde büyük ihtimalle, teğetinin eğiminin uç noktalar arasındaki eğime eşit olduğu bir nokta daha bulabiliriz. Bakalım. Şuradaki nokta olabilir. Bu eğim de eşit görünüyor. Bu doğrular paralel olmalı. Bu teğet doğrular paralel olmak zorunda yani. Evet umarım, bunu anlayabildiniz. Konunun iyice anlaşıldığından emin olmak için, bir grafik daha çizeyim. Konumun, konum, konumun zamana göre grafiğini çizeyim. Gerçek hayata uygulamış olacağız. x ekseni zaman ekseni olacak. Bu da konum ekseni. Zaten türevin anlamına bu örnekle başlamıştık. Bu, zaman, bu da konum veya uzaklık, fark etmez. Konum diyelim. Şimdi sabit hızla hareket ediyor olsaydım konumun konumumun zamana göre grafiği bir doğru olurdu, öyle değil mi? Eğimi de hız olurdu. Diyelim ki bu sefer hızım değişkenlik gösteriyor. Gerçek hayatta, araba kullanırken, hızınız mesela devamlı değişir değil mi. t 0'a eşit iken, hareketsiz olduğumu varsayıyorum. Sonra hızlandığımı, yavaşladığımı, yavaşlamaya devam ettiğimi düşünüyorum. Ve duruyorum. Biraz hareketsiz kalıyorum. Sonra tekrar hızlanıyorum, demek ki bir ışıkta durdum mesela trafik ışığında sonra tekrar hızlanıyorum, yavaşlıyorum, hızlanıyorum falan filan. Öyle değil mi? Hızım değişken olabilir ve bu, konumun zamana göre grafiği olabilir. Zaman 0 olduğunda, konum da 0. Diyelim ki, 1 saat sonra 60 kilometre gitmiş olduk. Bu konuda ne diyebiliriz? Ortalama hızın uzaklık farkı bölü zaman farkı olduğunu söyleyebiliriz. Saatte 60 kilometreye eşit. Ortalama değer teoremine göre, ortalama hız, yani bu noktayla şu nokta arasındaki eğim, 60 ise saatte 60 kilometre hızla gittiğimiz bir an mutlaka vardır, diyoruz. Bu gayet mantıklı, öyle değil mi? Ortalama hız saatte 60 kilometre ise belki bir noktada saatte 40 kilometreyle gidiyorsunuz. Başka bir noktada saatte 80 kilometreyle gittiniz. Arada da mutlaka saatte 60 kilometreyle gitmek zorundasınız. Bakalım, grafiğini çizebilecek miyiz. Bu eğim, ortalama hız. Çizdiğim şekliyle, sanıyorum, şuralarda saatte 60 kilometre gittiğimi söyleyebilirim. Teğetin eğimi, şurada 60 anlık hız şurada da 60 gibi. Videoyu bitirmeden önce şimdi bunu analitik olarak da çözelim. Video nun başında bu ortalama değer teoremi ile ilgili hislerim karışık demiştim çünkü, üniversitede matematik alanını seçmek istiyorsanız veya ispat yapmak istiyorsanız, bu teoremi faydalı bulursunuz. Sadece analizin uygulamalarıyla ilgileniyorsanız ortalama değer teoremini pek kullanmayacaksınız demektir. Neyse, bilmeniz gerekiyorsa, bilmeniz gerekiyor demektir. Size dünyayla ilgili ilginç bir bilgi kazandırdığını da söyleyebiliriz. Şimdi diyelim ki, f x eşittir x kare eksi 4 x, ve aldığım kapalı aralık, 2 ile 4 arası. Şimdi, ortalama değer teoremini kullanmak için bu fonksiyonun bu aralıkta tanımlı olması gerekiyor. Ve, fonksiyon tanımlı, öyle değil mi? İstediğimiz sayıyı koyabiliriz. Aslında, fonksiyonun tanım kümesi, tüm gerçel sayılar. Buna göre, bu aralıkta tanımlı olduğunu biliyorum. Aralıkta tanımlı, sürekli ve türevli. Fonksiyonun türevini aldığımızda, türevi de sürekli. O zaman, bu fonksiyona ortalama değer teoremini uygulayabilirim. 2 ile 4 arasındaki eğime, hangi c değerinin eşit türev vereceğini bulalım. 2 ve 4 arasındaki eğim nedir? Fonksiyon değerlerinin farkı, f 4 eksi f 2, bölü, x'lerin farkı, yani 4 eksi 2. Eğim böyle. f 4 eşittir 16 eksi 16, öyle değil mi? Yani 0. Kontrol edeyim. 4 kere 4, 16, eksi 4 kere 4, 16, doğru. Eksi f 2. f 2 eşittir 2 kare 2'nin karesi, 4, eksi 4 çarpı 2. Yani, eksi 8. Tamamı bölü 2. Burası, eksi 4. Bu eşittir, 4 bölü 2. Yani, x eşittir 2'den x eşittir 4'e eğim, 2 olacakmış. Ortalama değer teoremine göre, bu iki nokta arasında türevi 2 olan bir başka nokta olmalı. Şimdi bu noktayı bulalım. c'yi bulalım. Türevi alalım. c'deki türev, 2'ye eşit olacak. Türevi alıyoruz. f üssü x eşittir 2 x eksi 4. Hangi x değeri için bunun 2'ye eşit olduğunu bulmak istiyoruz. Şöyle diyoruz: 2 x eksi 4 eşittir 2. Eğimin 2 olduğu nokta hangisi? 2 x eşittir 6. x eşittir 3 yani. x 3'e eşit olduğunda, türev, uç noktalar arasındaki eğimle aynı. Hesap makinesiyle göstereyim. Evet. x kare eksi 4 x'in grafiği bu. Biraz büyüteyim. İstediğimiz aralık, buradan şuraya. Bu aralıktaki eğim, 2. Eğimi çizmek istersek, buna benzer. 3 noktasında eğim yine 2. Bunu çizeyim. Çizmesi çok zor değil. x ekseni y ekseni. Grafik 0,0 noktasından geçiyor. Grafik aşağı iniyor, sonra yukarı çıkıyor yani bir parabol. Bu 4 noktası. Bu da 2 noktası. 2'de y değeri eksi 4. Yani, tepe noktası, 2, eksi 4. Uç noktaların arasındaki eğim, 2'den 4'e, şöyle. Aralık, 2'den 4'e. Uç noktalar arasındaki eğim, 2. y eksenini biraz basık çizdiğim için, 2 gibi gözükmüyor. Diyoruz ki, x eşittir 3 noktasındaki eğim de 2. x eşittir 3'teki eğim aynı. Ortalama değer teoremi, bundan ibaret. Kulağa karmaşık geldiğinin farkındayım. Süreklilik, türevlilik, f üssü c, falan filan. Aslında teoremin belirttiği şey basitçe şöyle Şu iki noktanın arasında, anlık eğimin, iki nokta arasındaki eğime eşit olduğu bir nokta vardır. Bütün hikaye bu. Evet umarım, kafanızı karıştırmadım yakında görüşmek dileğiyle.