Optimizasyon: Malzeme Maliyeti

o üzeri açık olan dikdörtgen şeklindeki bir depolama ünitesinin hacmi on metreküp müş tabanının uzun kenarının uzunluğu kısa kenarının 2 katı tabanı için gerekli malzemenin metrekaresi 10 lira imiş ve kenarları için gerekli malzemenin metrekaresi de 6 lira imiş yapılabilecek en ucuz depolama ünitesinin malzeme maliyetini hesaplayınız demişler şimdi isterseniz işe bu üniteyi çizerek başlayalım üzeri açık olacak düş elimden geldiği kadar güzel bir çizim yapmaya çalışacağım Evet üzeri böyle açık olacak bunlarda kenarları olsun işte böyle üstü açık olduğundan bu şekilde İçini de görebiliriz Evet içi böyle görülebilir Belki bize başka ne demişler hacminin on metreküp olması gerektiğini söylemişler Hemen not edelim ve eşittir on metreküp tabanının uzun kenarının uzunluğu kısa kenarının 2 ne demiş tabanın kısa kenarına Eğer x dersek uzun kenarında 2x olması gerektiğini de biliyoruz devam edelim tabanı için gerekli malzemenin metrekaresi 10 lira Bir bakalım pembe ile boyadım alan Tabi bu Eğer transparan olsaydı buraları da görebilecektir Kama tabanı yapmak için gerekli malzemenin Evet metrekaresi 10 liraymış 10 lira kenarları için gerekli malzemenin metrekaresi ise 6 lira Evet burasını yapmak için gerekli malzemenin metrekaresi de 6 lira imiş şimdi bu ünitenin ya da kutunun diyeceğim x türünden maliyetini yazmaya çalışalım Ama bu noktada bir sorunumuz var çünkü değecekse Bize sadece tabanla ilgili bilgi veriyor Halbuki bizim kutunun yüksekliğine de ihtiyacımız var değil Şu anda elde edeceğimiz maliyeti exe ve yüksek türünden yazabiliriz yükseklik içinde Aşık kullanalım ve maliyeti yazmayı deneye bu maliyet eşittir tavanın maliyeti yani 10 lira çarpı sadece on yazalım Evet on çarpı taban alanı belki taban alanı nasıl bulabiliriz kısa kenar çarpı uzun kenarı öyle değil hemen yazıyorum onu Çarpı x çarpı 2ax Evet burası tabanın maliyetini Peki ya kenarların maliyeti İşte bu kenarına göre farklılık gösterecek Mesela bu kenarda bu kenarın boyutları aynı başka bir değişle ikisinin de alanını exe çarpı ağaç olarak hesaplayabiliriz Evet ilk çarpı Aşk Burada kullanılacak malzemenin metrekaresi 6 lira olduğuna göre altı Exo aşk bu kenarın maliyetine eşit olur Elimizde bu kenarlardan iki tane olduğuna göre bunu bir de iki ile çarpalım artı iki çarpı 6x çarpı Aşk Mehmet Bir de bu kenarlar var Öyle değil bunların alanını da bu x çarpı açlığı hesaplayabiliriz yazarlığın 2x çarpı ağaç malzemenin metrekaresi bu kenarları içinde 6 lira olduğundan altıyla ve bu kenarlardan da iki tane olduğu için bir de iki ile çarpıyoruz Bu birincisi Bu da ikincisi çarpı iki Kim bu kısımda kenarların maliyetini veriyor olacak Bakalım daha sade bir hale getirebilecek miyiz bu Nötr bir renk kullanarak baştan yazayım on çarpı 2.20 ederek Çarpı x kare yani 22 daire 2 çarpı 6x aşiyan-i 12x Aşk bir de iki çarpı 6-12 eder çarpı iki 24 yani artı 24x Aşk eşittir 20 x kare artı 36 x-fresh Evet maliyeti bulduk ama henüz optimizasyon yapmaya hazır değil Neden diyecek olursanız iki değişkene göre ettim ne yapmayı bilmiyoruz da ondan bu noktada tek bir değişkene göre optimizasyon yapmamız lazım ancak 2x göre optimizasyon yapalım desek bile aşık sürünen ifade etmemiz gerekir peki sizce bunu yani aşığı X'in bir fonksiyonu olarak ifade etmeyi nasıl başarırız hacmin o metreküp olması gerektiğini biliyoruz bu daha x çarpı iki x çarpı aşın on metreküpe eşit olması anlamına gelir güzel devam ediyorum 2 x kare çarpı ağaç eşittir o ve buradan aşığı X'in bir fonksiyonu olarak Yazmak istersek iki tarafı 2x Kariye bölebiliriz bunu yapınca aşığı 10/2 ikskare ya da daha sade olarak 5 bölü x kare olarak buluruz ve şimdi de aşık yerine bunu kullanarak eve taş yerine beşbölük spare yazacağız eşittir 20 x kare artı 36 bu x çarpı 5 bölü exe kalem maliyeti ilk sürümden ifade edebiliyoruz bunun içine x yazalım 20 x kare artı 36 çarpı 5 Evet bu 180 eder artı 180 bu işte bu işlerden biri bir birini götürür ve geriye x üzeri eksi 1 kalır İşte bu maliyeti ilk sürünen ifade ettik ve artık optimizasyon yapmaya hazırız optimizasyon için bu fonksiyonun kritik noktalarını Bolu bu noktaların minimumu yoksa Maximum olduklarına karar vermemiz lazım Bir bakalım kritik noktaları bulmak için türev alacağız ve türevi sıfır yada tanımsız yapan noktaları bulacağız bu noktalar aday kritik nokta larımız olacak bulduğumuz noktalar fonksiyonu minimum ya da maksimum değerleri olabilirler O halde maliyet fonksiyonu bu x göre türevi Evet 40 seksi 180x üzeri eksi 2 bu fonksiyon X'in sıfır dışındaki değerleri için tanımlıdır ancak diksin sıfır olması bizim için anlamlı bir sonuç olmuyor çünkü 2-0 olduğunda bu kutunun tabanı diye bir şeyden bahsetmiyoruz Bu yüzden de bu kritik nokta yani ise çıtır sıfırı değerlendirmeye almayacağız Bu arada hepsi sıfır eşit olduğunda yüksekliğinde tanımsız olduğunu hemen ekleyeyim bu fonksiyon X'in diğer tüm değerleri için tanımlı olduğuna göre potansiyel kritik noktalar için bir de türevi sıfır yapan noktaların hangileri olduğunu bulalım 40 seksi 180x üzeri eksi 2 eşittir sıfır yazıyor İki tarafa da 180x üzeri eksi 2 eklersek 40x eşittir 180/2 ikskare Olur öyle değil MEB Bir bakalım iki tarafı ikskare ile çağı ve böylece 48 küp eşittir 182 tarafı bir de 40'a bölelim isx-40b eşittir 100 80/40 Evet bu 18/4 eve Bu da 9/2 eşittir ikisine eşit olduğunu bulmak için iki tarafın küpkökü almamız lazım Bir de ve ilk eşittir 9/2 üzeri 1/3 yazabiliriz bunun yaklaşık olarak neye eşit olduğunu da hesap makinesiyle hesaplayalım Evet 9 bölü 2'nin küpkökü yaklaşık olarak 1,65 eşitmiş bu kritik noktanın henüz minimumu yoksa Maximum olduğunu bilmemize rağmen sorunun sorulmuş biçimini değerlendirecek olursak bunun minimum olması gerektiği sonucuna ulaşabiliriz ama ikinci türev testiyle bunun gerçekten de doğru olup olmadığını kontrol edebilir Hadi bakalım bu testi Bu eyerinin çukurunun gerçekten de yukarı yönlü olup olmadığını görelim ikinci türev 40 eksi eksi 180'li -2 çarparsa artı 360 buluruz Evet 360/2 üzeri3 -2 çarpı -180 360 eder evet doğru exe 1,65 eşit olduğunda bu pozitif olur öyle değil bu da öyle O halde Emin ikinci türevinin 1,65 teki değeri pozitiftir diyebiliriz Evet büyüktür sıfır Bu da eğrinin çukurluğu nun yukarı yönlü oldu yani eğrinin buna benzeyen bir şekil olduğu anlamına gelir ve türevin Sıfıra eşit olduğu nokta olan x eşittir 1,65 te minimum değer elde ederiz yani mavi yetimizi minimize etmiş oluruz şimdi soruya geri dönecek olursak maliyeti minimize edecek ilk değerinin ne olduğunu bulduğunuza göre geriye en ucuzu bu malzeme maliyetini bulmak kaldı mali fonksiyonunu ilk türünden ifade etmiştik şimdi ilk yerine 1,65 koyalım hesap makine mi çıkarıyor un maliyet eşittir 20 çarpı 1,65 inkar Es Bu arada maliyetin tam değerini değil yaklaşık değerini elde edeceğiz artı 180/1 1,65 ve Evet bu yaklaşık olarak 160 3,5 liraya eşit oluyor yeni bir renkle yazıyı Mix 1,65 e eşit olduğunda maliyet yaklaşık olarak 160 3,54 lira oluyormuş oldukça pahalı bir kutu değil mi malzemeler de bağlıdır ama bir anda kutu oldukça büyük bir kutu Öyle değil mi tabanının Kısa kenarı 1,65 metre uzunluğunda uzun kenarı da bunun iki katı yüksekliğinin ne olacağını da bulabiliriz 15 bölü 1,65 in karesi çok da yüksek olmayacak ama olsun yaklaşık olarak 2 metre eder Sanırım yine de oldukça pahalı malzeme kullanılarak yapılmış oldukça büyük bir kutudan bahsediyoruz bu kutudan sadece bir tane yapmanın maliyeti 163 Gül 54 lira imiş bu