Çözümlü örnek: yay uzunluğu

bu ekranda ye eşittir 2 üzeri 3 bölü 2'nin grafiği var Bu videoda bu eğrinin yüksek eşittir sıfır ile garip bi değer seçim Şimdi mesela ilk eşittir 32/9 arasındaki yay uzunluğu bulmaya çalışacağız Bu arada 32/9 garip görünse de göreceksiniz işimizi çok da zorlaştırma yacak 32/9 3 tam 5 bölü 9 a eşittir değil mi ve o da yaklaşık olarak burada bir yerdedir Evet şimdi sarıyla boyamaya başladım bu yayın uzunluğunu bulmaya çalışıyoruz Anlaştık mı sıfırla 32/9 arasındaki her zaman olduğu gibi hemen videoyu durdurun ve bu yayın uzunluğunu Kendi kendinize hesaplamaya çalışın denediniz ve sonucu bulduğunuz deyim Eğer bulamadıysanız videonun herhangi bir anında durdurup oradan devam edip sonuca Kendi kendinize ulaşmayı da deneyebilirsiniz şimdi bundan önceki videolarda kavramsal ispatını gördüğümüz ya o formülü uygulayalım Hemen not ediyorum yay uzunluğu Evet neydi integral sıfırdan 32/9 a kadar karekök içinde ama ama isterseniz önce formül yazayım sonra da elimizdeki değerleri yerleştiririz değil mi Adam Bey'e diyeyim Evet karekök içinde bir artı ev süsü x'in karesi değil x Evet buydu genel formül elimizdeki örneğe göre de yazınca sıfırdan 32/9 a karekök içinde bir artı Bu arada hemen efin türevine alalım şurada efix neydi x üzeri 3/2 de değil mi o halde Elif'in birinci türevi de 3/2 Çarpı x üzeri 1/2 ye eşit olur Bu fonksiyonu seçmemizin nedeni de karekökün içine koydum bu sadeleşmesi ve ters türevini almanın kolay olması bu soruyu hazırlarken güzel bir sonuç elde edebilmek için çok çalıştık Peki nerede kalmıştık ev süsü ikisi bulduk Şimdi bir de karesini alalım e-pin birinci türevinin karesi eşittir 9/4 Çarpı x üzeri bir bölü 2'nin karesi değişik üzeri bire yani x eşittir Öyle değil mi o halde yazalım bir artı 9/4 çarpı isve değil elimizdeki ifade ters türevini almayı bildiğimiz bir ifadeye dönüştü Hatta Aklımızdan bile yapabiliriz Ama isterseniz o kadar da ileri gitmeyelim ve u dönüşümünü uygulayalım ve bir gene isterseniz burada bir artı 9/4 x-bar bunun Türe bir ise 9/4 diye düşünüp ilerleyebilirsiniz ancak az önce dediğim gibi benu dönüşümünü yapmayı tercih ediyorum uyu bir artı 9/4 xx olarak belirleyelim şu anda DEU bölümde xd 9/4 olur değil mi buradan de uyu yalnız bırakırsak 9/4 DX olarak ele alacağız buradan bir de değilse yazayım Evet dxd iki tarafı 4/9 da çarparsak 4/9 de uyuya eşit olur integralin sınır değerlerini de değiştirmemiz lazım ilk sıfırken Evet Uu Bir bakalım 9/4 x00 edeceğinden 1'e eşit olur ve Exo 32/9 olduğunda da 32/9 çarpı 9/4 8 eder 8artı birden de dokuz elde ederiz neden bu sayıyı seçtiğimizi Şimdi daha iyi anlamış olmalısınız harika di mi devam edelim buradan devam ettiğimizi de şu şekilde göstereyim Peki o eşittir Birden dokuza karekök içinde bu iş yerine de 4/9 DEU yazacağız şöyle yazayım şöyle yazayım karekök içinde de doğru renk olmadı karekök içinde wedex yerine de 4/9 b u yazacağız 4 bölü dokuzu doğrudan integralin dışına yazabilirim bu integrali kalkülüsün ikinci temel teoremine göre değerlendirmemiz gerekirse 4/9 çarpı karekök içinde unun ters türevi ki bunu üzeri 1/2 olarak da yazabiliriz u üzeri 3/2 ye eşittir Tabii bir de 3/2 ye bölmemiz lazım Bunu da çarpı 2 bölü 3 olarak yazalım ve unu bir ile dokuz olduğunda neye eşit olacak acaba bunu bulmamız lazım Sonra çok yaklaştık 4/9 çarpı 2 bölü 3 çarpı dokuz üzeri 3 bölü 2 eksi 2 bölü 3 çarpı bir üzeri 3/2 en son karekökü Üçtür 3'ün küpü s27 ye eşittir Burası da bir Böylece geriye 2/3 çarpıp ya da bunları 2 bölü üç parantezinde alalım 2 bölü 3 çarpı 4/9 8/27 edecek Buradan da 27 -1 gelecek ve 27 -1 26 eder 8/27 çarpı 26'da bakalım Evet 8 çarpı 26/8 kere 20160 ve alt kr8 48 den 208 eder ve sonuç iki 108/27 olur İşte bu kadar o