Ana içerik
Güncel saat:0:00Toplam süre:4:09

Video açıklaması

Bu videoda, birinci çeyrekte yer alan, y eşittir karekök x’in grafiğinin altında ve y eşittir x kare grafiğinin üzerinde yer alan bu bölgenin alanını bulacağız. Şu an gösterdiğim alandan bahsediyorum. Bu bölgenin uç noktaları hakkında ne söyleyebiliriz? Bize verilen iki fonksiyon kesiştiğinde yani birbirlerine eşit olduklarında, bu bölgenin uç noktalarını buluruz. x kare ile karekök x, x eşittir sıfır ve x eşittir 1 noktalarında kesişir, Peki, bu alanı nasıl bulacağız? Bir düşünelim... Bu alanı bulmanın bir yolu, y eşittir karekök x ile x ekseni arasındaki alan yani, sıfırdan 1’e gidiyoruz, Evet, sıfırdan 1’e giderken, karekök x dx, karekök x’in altında kalan alanı verir. Tarayıp gösterelim, daha iyi görün. x eşittir 1 noktasına kadar olan alan, bu şekilde gösterilir ve bu alandan, y eşittir x karenin altında ve x ekseninin üzerinde kalan alanı çıkarırsak, istediğimiz alanı bulmuş oluruz. İşte sıfırdan 1’e giderken, x karenin altında kalan alan, Yani, x kare dx. Bu işlemin sonucu bize istediğimiz alanı verecek. Hatta bakın, bu iki ifadenin sınırları aynı, ikisinde de dx görüyoruz. O halde, bunu, belirli integral olarak, sıfırdan 1’e, karekök x eksi x kare dx olarak da yazabiliriz. Şöyle gözümüzde canlandırmaya çalışalım. dx’in alanını aklımızda canlandırmak için kullanacağımız dikdörtgenlerin eni olduğunu düşünün. Bu ifadede, dikdörtgenleri yüksekliği ise, artık fonksiyon ve x ekseni arasında kalan uzunluk değil, iki fonksiyon arasındaki fark olacak. Bakın, bu, dikdörtgenin eni ve iki fonksiyon arasındaki bu fark da, dikdörtgenin yüksekliği oluyor. Buraya başka bir dikdörtgen çizebiliriz. Bir tane daha... Tüm bu dikdörtgenlerin eni dx, yükseklikleri de iki fonksiyon arasındaki fark Eğer limit alırsak, bu dikdörtgenler incelmeye başlar, inceldikçe sayıları artar ve böylece taralı alanı aşağı yukarı tahmin etmiş oluruz. Gördüğünüz gibi, taralı alanı bulmanın bir yolu bu. Diğer yolu ise, az önce gördüğümüz gibi, karekök x fonksiyonun altında kalan alandan, x karenin altında kalan alanı çıkarmak. Evet, bu sefer biraz daha hesap yapmamız gerekecek. Evet, ters türev nedir? Hatırlayalım, kalkülüsün ikinci temel teoremine göre, buradaki ifade, karekök x’in ters türevi olacak. Karkeök x, x üzeri 1 bölü 2 ile aynı şey, Bunu arttıracağız. Sonuç olarak, x üzeri 3 bölü 2 bölü 3 bölü 2 ya da çarpı 2 bölü 3. Bu ifadeyi, sıfır ile 1 arasında değerlendireceğiz ve bu ifadeden, yine sıfır ile 1 arasında değerlendirdiğimiz, x üzeri 3 bölü 3’ü çıkaracağız. Bu ifadeyi 1 noktasında değerlendirirsek, 2 bölü 3 çarpı 1 üzeri 3 bölü 2, 2 bölü 3 eder. Aynı ifadeyi sıfırda değerlendirirsek, sonuç sıfır olur. O halde geriye, 2 bölü 3 kalır. Şimdi, ikinci ifadeyi 1’de değerlendirelim, 1 küp bölü 3, 1 bölü 3 eder, eksi 1 bölü 3 yazdım ve son olarak, bu ifadeyi sıfırda değerlendireceğim. Aslına bakarsanız, buraya biraz açıklık getirelim ve bir parantez koyalım. Neden mi? Çünkü ilk olarak bu ifadenin 1’deki sonucundan sıfırdaki sonucunu çıkarmamız ve sonra da kalanı, bundan çıkarmamız gerekiyor. Bu ifade sıfırda değerlendirildiğinde sonuç, sıfırdır. Bundan dolayı, parantezi kaldırabiliriz, çünkü geriye eksi 1 bölü 3 kalır. 2 bölü 3 eksi 1 bölü 3, bu da, 1 bölü 3 eder. İşte sonuç! Hangi birimi kullanıyorsak, bu taralı bölgenin alanı, 1 bölü 3 birim karedir. Bu kadar.