Fonksiyonun Kapalı Aralıktaki Ortalama Değeri

Bu videoda, bir fonksiyonun, kapalı bir aralıktaki ortalama değerini inceleyeceğiz. Peki bu ne demek? Şimdi diyeceksiniz ki honksiyonun ortalama değeri de neymiş? Sorularınıza cevap vermek için, hemen bir grafik çizelim, bu y ekseni, bu x ekseni, Bu da fonksiyonumuz. Y eşittir fx. Şimdi de, kapalı bir aralık seçelim. A ve B kapalı aralığı. Ve unutmayın kapalı aralığa, uç noktaları da dahildir. Evet, a ve b noktaları arasında, fonksiyonun ortalama değerini arıyoruz! Bu soruya, fonksiyonun ortalama yüksekliğini bularak cevap verebilirsiniz. Ama bunu nasıl yapacağız? Bakın, eğer bu ortalama yüksekliği, bu aralığın genişliği yani bu uzunlukla çarparsak, buradaki alanı buluruz, öyle değil mi? Ve bu alanın, sarıyla taradığım bu alanın, A ve b arasında, fx’in belirli integrali olduğunu biliyoruz! Tekrar ediyorum, fonksiyonun ab kapalı aralığındaki ortalama değeri için az önce, bu aralıktaki ortalama yükseklikten bahsetmiştim, mesela böyle olsun, Bu şekilde çizelim, eğer bu yüksekliği, buradaki uzunlukla çarparsak, bu dikdörtgenin alanını buluruz! Ve yine az önce söylediğimiz gibi, bu dikdörtgenin alanı da, eğrinin altında kalan alana eşittir! Mantıklı mı? Evet! Yamuğun alanını nasıl bulduğumuzu hatırlayalım. Mesela böyle bir yamuğumuz varsa, Alanını, yüksekliği, ortalama genişliğiyle çarparak bulabilirsiniz. Evet, burada da benzer bir şey yapıyoruz! Bir yamuğun ortalama genişliği, tam burada, ortasında olur. Bu fonksiyon doğrusal olmadığı için, yükseklik tam ortada olmayacak ama fikir aynı! Peki, bu yüksekliğe fonksiyonun ortalama değeri dersek, bunu bulmak için ne yapabiliriz? Acaba tüm bu bilgileri kullanarak bir formül bulabilir miyiz? Şu ana kadar söylediğimiz her şeyi matematiksel ifadeler olarak yazabilirsek, bunu yapabiliriz. Fonksiyonun ortalama değerini, buradaki genişlikle, yani kapalı aralığın uzunluğuyla, yani b eksi a’yla çarparsak, eğrinin altında kalan alanı buluruz! O halde, f ortalama çarpı b eksi a, a ve b arasında, fxdx’in belirli integraline eşittir! Fonksiyonun ortalama değerini yalnız bırakmak için, iki tarafı da b eksi a’ya bölelim, eğrinin altında kalan alanı buluruz. Böylece, fonksiyonun ortalama değeri eşittir 1 bölü b eksi a çarpı a ve b arasında fxdx’in belirli integralini elde ettik! Başka bir deyişle, eğrinin altında kalan bu alanı hesaplayıp, alanın genişliğine bölersek, fonksiyonun ortalama yüksekliğini yani ortalama değerini buluruz! Her zaman olduğu gibi, bir kere daha hatırlatmak istiyorum, sakın, bu formülü ezberlemeyin! boşuna ezberlemek için zaman harcamayın, formülün ne yapmaya çalıştığı çok açık öyle değil mi? Eğrinin altında kalan alan bölü genişlik, ortalama yüksekliği verir. Ve ortalama yükseklik de, bu fonksiyonun ortalama değeridir! Bir sonraki videoda, bu formülün uygulamasını yapacağız ve alanı bulabildiğiniz takdirde, fonksiyonun ortalamasını hesaplamanın ne kadar kolay olduğunu göreceksiniz.