Analizin Temel Teoremiyle Türev Bulma: İki Limitte de x Olduğunda

Burada gördüğünüz ifadenin türevini alıp, büyük F üssü x’i bulmaya çalışacağız. Yine, kalkülüsün temel teoremini kullanacağız gibi görünüyor. Çünkü burada x’in fonksiyonu olan belirli bir integralin türevini alıyoruz. Ama ufak bir fark var, tahminen siz de gördünüz, değil mi? Hem alt, hem de üst sınırda, x var ve şu ana kadar gördüğümüz örneklerde, kalkülüsün temel teoremini, sadece üst sınırda x olduğunda kullanmıştık. Hatta buradaki gibi, üst sınırda x kare olan örnekleri zincir kuralını kullanarak çözmüştük. Peki, sizce, bunu, alışık olduğumuz ve kalkülüsün temel teoremini kolayca uygulayabileceğimiz bir şekle nasıl getirebiliriz? Bunun için, gelin, grafiğini çizelim. Bu, küçük f(t) olsun. Evet, bu, f(t). Ve şimdi, ft’nin, x ve x kare arasındaki grafiğini çizeceğiz. Evet, bu y ekseni, bu t. f(t)’nin grafiğini tam olarak bilmediğim için, yaklaşık olarak çiziyorum. Şimdi de, x ve x kare aralığını belirlememiz gerekiyor. Alt sınır, x, burası olsun. Bu belirli integral için, x, alt sınır olarak belirlenmiş. Ve tabi, tam olarak emin olamayız ama seçilen x’e göre, x kare, x’den küçük de olabilir ama şimdi kafanızı karıştırmayayım, bu örnekte daha anlaşılır olması için, x kareyi de burası olarak belirleyelim. Verilen ifadedeki integral, işte buradaki eğrinin altında kalan alana eşit. Şimdi, x’le, x kare arasında bir sabit belirleyelim. Bu sabite de, c diyelim. c, alanı iki parçaya bölsün. Bu sayede, alanı, 2 farklı integral olarak yazabiliriz. Birinci integral burayı, ikinci de burayı temsil edecek. Tekrar ediyorum, c, x’le, x kare arasında bir sabit. Ne dedik, buradaki ifade, iki alanın toplamına eşit olacak. Mor alanı, x’ten c’ye, kosinüs t bölü t’nin belirli integrali, Yeşil alanı da, alt sınırın, c, üst sınırın da x kare olduğu, kosinüs t bölü t’nin belirli integrali olarak yazabiliriz. Bu ifadede, zincir kuralını kullanarak, kalkülüsün temel teoremini uygulayabiliriz. Bundaysa, x alt sınır. x’i üst sınır yapmak için, altla üst sınırın yerini değiştirebiliriz. Bunu yaparsak, bu integralin negatifini elde ederiz. O halde baştan yazalım. Eksi c’den x’e, kosinüs t bölü t’nin belirli intergali artı, c’den x kareye, kosinüs t bölü t’nin belirli integrali. Şu ana kadar, bu ifadeyi, kalkülüsün temel teoremini kolaylıkla uygulayabileceğimiz bir hale getirmeye çalıştık ve şimdi, büyük F üssü x’i hesaplamaya hazırız. Türev işlemini uyguladığımızda, başta eksi olacak, kalkülüsün temel teoremini uyguluyorum, eksi kosinüs x bölü x, artı, bu ifadenin x kareye göre türevi, yani, kosinüs x kare bölü x kare. Ne yaptık? t gördüğümüz yerlere x kare koyduk, ve sonra da bunu, x karenin x’e göre türeviyle çarpacağız. Evet, x karenin x’e göre türevi, 2x’tir. İşte bu kadar! Biraz da sadeleştirelim. Eksi kosinüs x bölü x, bununla bu birbirini götürecek ve geriye, 2 kosinüs x kare bölü x kalacak. Şimdi de bununla bunun yerini değiştirerek, ortak paydaya alalım, 2 kosinüs x kare eksi kosinüs x bölü x. Ve bitti!