Analizin Temel Teoremi Tekrar

Teoremin iki versiyonu vardır.

Sürekli olan bir $f$‍ fonksiyonuyla başlarız ve $y=f(t)$‍ eğrisinin altındaki alan için yeni bir fonksiyon tanımlarız:

Teoremin bu versiyonunun söylediği şey, $F$‍'nin türevinin $f$‍ olduğudur. Başka şekilde ifade edersek, $F$‍ $f$‍'nin bir ters türevidir. Dolayısıyla, bu teorem diferansiyel ve integral kalkülüsü ilişkilendirir ve bize bir eğrinin altındaki alanı ters türev alarak nasıl bulabileceğimizi söyler.

Bu versiyon, $x=a$‍ ve $x=b$‍ arasında $y=f(x)$‍ eğrisinin altındaki alanı bulmak için daha doğrudan talimatlar verir. Basitçe bir $F$‍ ters türevini bulun ve $F(b)-F(a)$‍ yapın.

Teoremi daha karmaşık durumlarda kullanabiliriz. Örneğin, ${\displaystyle \frac{d}{dx}}{\displaystyle {\int }_0^{x^3}\sin (t)dt}$‍ için ifadeyi bulalım. Aralığın $0$‍ ile $x$‍ arasında değil, $0$‍ ile $x^3$‍ arasında olduğuna dikkat edin.

Bize yardımcı olması için, ${\displaystyle F(x)={\int }_0^x\sin (t)dt}$‍'yi tanımlarız. Analizin temel teoremine göre, $F^{\prime }(x)=\sin (x)$‍'tir.

Tanıma göre ${\displaystyle {\int }_0^{x^3}\sin (t)dt}$‍ $F(x^3)$‍'tür, bu ${\displaystyle \frac{d}{dx}}{\displaystyle {\int }_0^{x^3}\sin (t)dt}$‍'nin ${\displaystyle \frac{d}{dx}}F(x^3)$‍ olduğu anlamına gelir. Şimdi zincir kuralını kullanabiliriz: