Güncel saat:0:00Toplam süre:15:43
1 enerji puanı
Studying for a test? Prepare with these 6 lessons on İntegral Teknikleri .
See 6 lessons
Video açıklaması
Herhangi bir gerçek x sayısı için, [x]'in x'e küçük veya eşit olan en büyük tam sayı olduğunu söyleyelim f'in -10 ve 10 aralığında olan-sınırları da kapsayan gerçek bir fonksiyon eğer en büyük x tek iken f(x)= x - [x] i ve çift iken 1 + [x] -x i karşılıyorsa pi^2 bölü 10 çarpı fx cos (pi çarpı x) dx integrali neye eşittir? bu integrali hesaplamaya başlamadan önce f(x)'i hiç değilse canlandırmaya çalışalım o zaman x ve y eksenlerini çizeyim-y eksenini çizeyim bu fonksiyonun nasıl göründüğüne bakalım bu x=0, x=1, x=2 ve x=3, -1'e -2'ye hatta daha ileriye de gidebiliriz umarım ki bir şekil görürüz çünkü tekten çifte değişiyor gibi o zaman 0 ve 1 arasındaki mutlak değer veya pardon x'in en büyük tam sayı değeri nedir? 0 ve 1 arasında-buraya yazayım bir'e gelene kadar-belki de bunu yapmalıyım- 0'dan 1'e kadar, x=0 diyeceğim eğer 5 noktasındaysam 0.5 0'ı sağlar 1'den 2'ye kadar gidersem de-buna [x]=1 diyeceğim 1.5 ve 1.9'da 1 en büyük tam sayı olur 2 ve 3 arasına bakacak olursam da, 2.5 en büyük tam sayı olan 2'yi sağlar en azından bu aralıklara bakıp fonksiyonu çizelim 0 ve 1 arasındaki en büyük tam ayı 0-bunu çift olarak düşünebiliriz 0 çift, 1 tek, 2 çift, 3 tek 0 çift ise [x] çift sayıdır koşuluna bakacağız bu zaman aralığında veya x ekseninin bu kısmında x'in en büyük tam sayı değeri 0 denklem, doğru veya fonksiyon bu aralıkta sadece 1-x'e eşit olacak çünkü [x] 0'a eşit 1-x bu şekilde olacak, eğer bu değer 1 ise 1-x böyle aşağıya doğru inecek 0'dan 1'e kadar böyle görünüyor, 1'den 2'ye kadar nasıl göründüğüne bakalım 1'den 2'ye kadar-2 dahil değil ama 1 2'ye kadar tamamen dahil şekilde- 1 en büyük tam sayı, ve [x] tek bir sayıya eşit o zaman bu koşulu kullanacağız, x- [x] bu aralıkta [x]=1 olacak, o zaman grafik x-1'e eşit diyeceğiz x-1 1'de iken 0'a 2'de iken ise 1'e eşit olacak aynen böyle görünecek. buradaki x-1'di ve buradaki 1-x'ti. 2 ve 3 arasına bakacak olursak da [x] = 2 diyeceğiz ve buradaki koşula bakacağız: 1+[x]-x 1+2=3 eksi x diyeceğiz 3-2=1 burada olacak ve x=3'te 3-3=0 diyeceğiz ve eğri biraz aşağıya inecek bu grafiğin nasıl göründüğü hakkında bence fikir edindik -1 ve +1 eğimi ile yukarı inip çıkacak -1 sonra tekrar +1 eğimiyle tekrar tekrar yukarı inip çıkacak diğer aralıklarla da deneyebilirsiniz ama şekli açıkça böyle olacak şu an yapmak istediğim -10'dan 10'a kadar olan bu fonksiyon ile cos pi x çarpımını hesaplamak cos(pi x) in kendini tekrarlayıp tekrarlamadığını düşünelim ve eğer integrali sadeleştirebilirsek, tekrar tekrar hesaplamamıza gerek kalmaz belki integrali daha basit bir şekile sokabiliriz cos (pi x)'e 0 değerinde hesaplayalım cos(0)=1 x=1 iken cos(pi x) -1 o zaman fonksiyonun değeri -1 cos(2 pi(2 çarpı pi) tekrar 1 olacak 1.5'u denkleme koyunca pi/2 olacak cos (pi/2)=0 olacak daha düzgün çizecek olursam grafik böyle görünecek bu şekilde ilerlemeye devam edecek, bu da kendini tekrar eden bir şekle sahip, bu iki periyodik fonksiyonun çarpımını -10'dan 10'a kadar bulacağız-ve bu aralıkta olduğu için sadeleştirebiliriz gibi görünüyor 0'dan 1'e kadar olan aralığa bakalım 0'dan 1'e kadar fonksiyonu hesaplayacağız (1-x) ile sonra cos ile çarpacağız 1'den 2'ye kadar da fonksyionu x-1 ile hesaplayıp cos ile çarpacağız böylece ikisinin de alanlarını bulacağız, 0'dan 1'e ve 1'den 2'ye kadar olan alanlar eşit olacak çünkü fonksiyonlar tamamen simetrik öyleyse iki alan da birbirine eşit olacak 2'den 3'e kadar olan veya diğer aralıklarda da aynı alan olacak 2'den 3'e kadar olan integral ve 0'dan 1'e kadar olan integral özdeş görünüyorlar 1'den 2'ye kadar olan integral de onlarla özdeş çünkü fonksiyonların çarpımını alınca onların simetrik olduğunu görüyoruz buradan buraya kadar olan integral ve oradan oraya kadar olan integral eş değer olacak. o zaman bunu yeniden yazabiliriz pi^2 bölü 10 çarpı -10'dan 10'a kadar olan f(x) cos (pi x) integrali pi^2 bölü 10 çarpı 20 diyeceğiz çünkü 10 ve -10 arasında 20 tane tam sayı var çarpı 20 0'dan 1'e kadar olan f(x) cos (pi x) dx dx'i buraya yazmayı unutmuşum, burası sorunun anlaması en zor olan yeri o yüzden anlamanızı istiyorum-bu aralık bütün integralin 20'de biri çünkü 0'dan 1'a kadar olan her aralıkta, 1'den 2'ye 2'den 3'e veya -2'den -1'e olan integralde aynı değeri bulacağız bütün integrali -10'dan 10'a kadar hesaplayacağımıza, 0'dan 1'e kadar olan integrali 20 ile çarpıyoruz -10'dan 10'a kadar 20 tane integral var o yüzden 20 ile çarpıyoruz-bu da soruyu basitleştiriyor buradaki bölümde 20/10=2 diyoruz ve 2pi^2 buluyoruz 0'dan 1'e kadar olan integralle çarpacağız, 0'dan 1'e kadar olan f(x) kaçtı? 0'dan 1'e kadar f(x) 1-x'e eşitti. 1-x çarpı cos (pi x) dx diyoruz buradaki integrali hesaplamamız gerekiyor-o zaman 1-x çarpı cos(pi*x) cos(pi x)- x cos (pi x) ile aynı şey şimdi ters türev almaya bakacağız, öyleyse x cos (pi x) dx in ters türevini alalım bunu yapmanın kolay olmadığı aklınıza gelebilir x'in türevini alabilsem bu kolay olabilirdi cos (pi x) in ters türevini almak gayet kolay olabilirdi o zaman parçalı integral almayı deneyelim, u dv nin integrali eşittir uv eksi v du nun integrali bu konsepti buraya uygulayacağız- bunu kanıtladığım ve tamamen ne olduğuna dair örneklerini gösterdiğim videolar var-ama bunu direkt burada kullanalım u her neyse onun türevini alacağız, u nun türevini alırken basit olmasını isterim sonra ise dv'nin ters türevini alacağım-öyleyse ters türev alındıktan sonra karmaşıklaşmayan bir değer bulmalıyım- türevini aldıktan sonra basitleşen değerin x olduğunu düşünüp u=x dersek du=dx diyebiliriz dv bunun tamamına eşit olacak, dv eşittir cos (pi x) dx diyeceğim v'de x'e göre bunun ters türevi olacak v=1/pi sin pi x olacak değil mi? eğer iç kısmın türevini alsaydım pi çarpı çarpı 1/pi birbirini götürecek ve sin (pi x) cos (pi x) olacak u'yu ve v'yi bulduk, o zaman bu u çarpı v'ye eşit olacak x çarpı x/pi sin (pi x) eksi v'nin integrali o da 1/pi sin (pi x) du diyeceğim-du dx ile aynı şey bu gayet açıktı, sin (pi x) in ters türevi eksi veya artı 1/pi cos (pi x) bana inanmazsanız türevini de alabilirsiniz, umarım bunları aklınızda kullanmaya başlarsınız özellikle de IIT giriş sınavına girecekseniz buradaki bütün terimler x/pi sin (pi x) olacak sin (pi x) in ters türevi eksi 1/pi cos (pi x) olacak ve eksiler birbirini artı yapacak 1/pi^2 cos (pi x) diyeceğim cos (pi x) nın türevi eksi pi sin (pi x) olacak -pi'ler birbirini götürecek-bunun ters türevi şuna eşittir eğer bunun ters türevini istiyorsak 0'dan 1'e kadar olanı bulmalıyız cos(pi x)in ters türevi gayet belli-aslında burada yapmıştık- 1/pi sin (pi x) olacak, x cos (pi x)in ters türevi de buradaki değerler ama çıkardığımız için önüne eksi işaretini koymamız lazım eksi x/pi sin (pi x) eksi 1/pi^2 cos (pi x) diyeceğim 0'dan 1'e kadar kaç olduğunu hesaplayacağız öndeki 2 pi^2 ı hesaplamaya gerek yok. 1/pi sin (1 pi) 0'a eşit olacak o zaman 0 eksi 1/pi çarpı sin (1 pi) de yine 0'a eşit olacak eksi 1/pi^2 cos pi -1 diyeceğim, -1 çarpı eksi 1/pi^ artı 1/pi^2 eder 0 -0 artı 1/pi^2 olacak. bunu 1'de hesapladık şimdi bundan 0'da hesapladığımızı çıkaracağız sin(0)=0 eksi bu direkt 0 çünkü en başta 0 var eksi cos(0) ki o da 1, daha sonra 1/pi^2 var bu terimi negatif veya pozitif yazmamız fark etmez 1/pi^2 artı 1/pi^2 2/pi^2 eder bunun hepsini 2 pi^2 ile çarpacağımızı unutmamalıyız bunun hepsini öndeki değer olan 2pi^2 ile çarpacağız pi^2 pi^2 i götürür bize de 2 çarpı 2 kalır ve 4 buluruz. bu kadar karmaşık görünen bir sorunun cevabı 4'e eşit olur