Tan x'in İntegrali

Tanjant x dx’in belirsiz integralini almak istiyoruz. Her zamanki gibi, hemen videoyu durdurmanızı ve bu sorunun cevabını kendi başınıza bir denemenizi istiyorum. Hatta size bir de ipucu vereyim, Zincir kuralının tersini kullanabilirsiniz. Zincir kuralının tersi! Evet, cevabı bulduğunuzu biliyorum, şimdi, gelin, birlikte bakalım. Ne demiştik? Zincir kuralının tersi demiştik. Burada bir fonksiyon görüyorsunuz. Bu fonksiyonun bir türevi var. Bu fonksiyona göre integral de alabilirsiniz ama bahsettiğimiz fonksiyon tanjant x. Kafanız karışmış olabilir, “Bu adam neden bahsediyor acaba?” diye düşünüyor olabilirsiniz. Şimdi durun, derin bir nefes alın ve söylediğime kulak verin. Bir tanjant, bir kosekant ya da sekant fonksiyonu gördüğünüzde, Hemen, bu fonksiyonların sinüs x ve kosinüs x cinsinden nasıl tanımlandıklarını düşünün. Neden mi? Çünkü, kosinüs x ve sinüs x ile işlem yapmak çok daha kolay. Şimdi bakalım. Evet, tanjant x’in tanımı nedir? Tanjant x, sinüs x bölü kosinüs x’tir. Peki, bunu yazalım. Eşittir, sinüs x bölü kosinüs x’in belirsiz integrali. İsterseniz, bu ifadeyi başka bir şekilde de yazabiliriz. Hatta bu, bize sorunun cevabı ile ilgili bir ipucu da verebilir. Sinüs x çarpı 1 bölü kosinüs x dx. Evet, videonun başında soruyu nasıl çözeceğinizi bulamadıysanız, işte size ikinci bir fırsat, ikinci bir ipucu. Eğer bulamadıysanız, daha önce bulamadıysanız, şimdi, videoyu durdurun ve bu ifadeden yola çıkarak integral almaya çalışın ve zincir kuralının tersini kullanacağınızı da unutmayın. Zincir kuralının tersi deyip duruyorum videonun başından beri. Peki, bu ne demek? Evet, bu soruyu soruyor olabilirsiniz. O halde, gelin, bu konuda ufak bir hatırlatma yapalım. 1 bölü x dx’in belirsiz integrali nedir diye sorsam, ne dersiniz? Tabii ki, x’in mutlak değerinin doğal logaritması artı C. Peki, f üssü x çarpı 1 bölü f(x) dx’in belirsiz integrali ne olur? İşte zincir kuralının tersi, burada devreye giriyor. Nasıl mı? Elimizde 1 bölü f(x) var. Eğer, bunun türevinin ne olduğunu bilseydik, buradaki ifade ile çarpar ve f(x)’e göre integral alabilirdik. Evet, şaşırtıcı ama türevin ne olduğunu biliyoruz. Bakın, işte burada. Ve türevi, 1 bölü f(x) ile çarpıyoruz. O halde, zincir kuralının tersini uygulayarak, bunun, f(x)’in mutlak değerinin doğal logaritması artı C’ye eşit olacağını söyleyebiliriz. Aslında, burada gördüğünüz şey, bununla aynı. Eğer, kosinüs x’i, f(x) olarak düşünürsem, sinüs x, kosinüs x’in tam olarak türevi olmasa da, türevinin negatifidir. Evet, kosinüs x’in türevinin, eksi sinüs x olması gerekiyorsa, bunu burada nasıl oluşturabilirim dersiniz? Peki, buraya ve buraya birer eksi işareti koyarsam ne olur? Eksi 1 ile iki kere çarpmış olurum ve bu, ifadeyi hala pozitif tutar. Ve şimdi, burada gördüğünüz, yuvarlak içine aldığım eksi sinüs x, kosinüs x’in türevi haline gelir. Buraya, f üssü x yazabilirim. Ve şimdi de sıra, zincir kuralının tersinde. Çok heyecanlı! Videonu başından beri zincir kuralının tersi diyoruz, bakalım ne olacak? Kosinüs x’in mutlak değerinin doğal logaritması artı C. Yukarıda eklemiş olduğumuz eksi işaretini de unutmayalım. Buraya eksi işaretini de koyalım. Ve işte bitti! Karşınızda tanjant x’in belirsiz integrali. Eksi kosinüs x’in mutlak değerinin doğal logaritması artı c.