If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Tanjant Kullanarak Daha Fazla Trigonometrik Yerine Koyma Sorusu Çözme

İntegralde x yerine tan(theta) koymayla ilgili başka bir alıştırma sorusu. Orijinal video Sal Khan tarafından hazırlanmıştır.

Video açıklaması

bu elimizde integral 1/36 artık squared X'in olduğunu düşünelim bunun trigonometre olmadan çözmesi çok da kolay olmayan bir integral olduğunu fark etmiş olmalısınız u dönüşümü yapamıyoruz Çünkü ifade bunun türevini içermiyor bunun yerine 2x olsaydı Evet her şey çok daha kolay olurdu yani o zaman 2x bunun türevi olacağından u dönüşümünü uygulayabilir dik Ama elimizde 2x olmadığına göre gelin trigonometrik özdeşlikler den yardım almaya çalışalım hangisini kullanabiliriz dersin bu arada buna benzeyen bir şey yani bir sabit artı bir değişkenin karesini içeren bir ifade gördüğümde beynim bana burada trigonometrik bir ifade kullanabileceğimi söyler ama ben genellikle bir artı kareli bir ifade tercih ederim Bu yüzden de bu integral ip de eksipa ya Alalım DX bölüm bu 36 çarpı bir artı x kare bölü 36 olarak yazacağım bununla bu aynı şey ve şimdi de bu integrali neye eşit olduğunu bulmamıza yardımcı olacak trigonometrik özdeşlikler gözden geçireceğim aklınıza hemen gelmemiş olabilir ama not ediyorum bir artı tancan karete tam Evet bu bize yardımcı olabilir bakalım bir artı tanjant karete ta bir artı sinüs karete tablo ölü kosinüs kare tetaya eşittir biri ise koşunuz kare bölü kosinüs kare olarak yazabiliriz Öyleyse bu kosinüs kare teta bölü kosinüs kare teta artık eğer sinüs kare tetaya eşit olur değil mi Belki kosinüs kare TT artık sinüs kalite tahta kaçtığı Evet doğru birim çember tanımından yola çıkarak bunun bir eşit olduğunu söyleyebiliriz Böylelikle bunun bir en büyük kosinüs kare tetaya ya da sekant kara tetaya eşit olduğunu bulmuş oluruz ve burada da bunun yerine tanjant karete ta koyacak olur isek burada bir artı tanjant karete ta elde etmiş oluruz ve bunun sekant kara tetaya eşit olduğunu da az önce Is patladığımız için belki bunu da sadeleştirilebilir evet ne demiştik ikskare bölü 36 tanjant kare tetaya eşit olacak iki tarafın karekökünü alırsak x bölü 6 tanjant etaya ve buradan X6 çarpı tanjant detaya eşit olur iki tarafın tetaya göre türevini alınca de x bölü de tahta eşittir Tan Cadde tanım türevi neydi burada yazdıklarımız a dayanarak ya da bir saniye hemen bunu da bulalım şuradan devam edeceğim altı çarpı ve bölü de tahta tanjant et anne ve tanjant etsin üste ta Bölük o sinüste tavuk olduğuna göre e detaya göre türevi sinüste da bölümü kosinüs teta yazıyorum ve bu da da ekranı biraz kaydırıyorum bölüm kuralını uygulayacağım Bu arada bu kuralı ezbere bilmediğini biliyorsunuz değil mi Bu sinüste da çarpık kosinüs teta üzeri eksi 1 e eşittir onları bölme yerine çarpma olarak ifade ettiğimizde göre şimdi çarpım kuralını uygulayabilirim Evet birinci fonksiyonun yani sinüste tanım türevi Cosinüs tetra Çarpın ikinci ifade yani Cosinüs teta üzeri eksi 1 eksi biri buradaki parantezin üzerine yazdım çünkü Eğer kosinüsleri eta'nın arasına yazmış olsaydın bunun kosinüsün tersi yani artık koşusu olduğunu düşünebilirsiniz Peki bu Ha bir de ikinci fonksiyonun yani kosinüs de da üzeri eksi 1'in türevi ki bu da eksi koşunuz üzeri eksi 2 tetaya eşittir çarpı İçerdeki fonksiyonun türevi bu dıştaki fonksiyonun türevi tamam mı Yani eğer koşunuz t'etais olsaydı ilk üzeri eksi 1'in türevi eksikse üzeri eksi 2 olur böyle değil mi mi İçerdeki fonksiyonun türevi de eksi sinüste tadıdır ve Çağrı bir fonksiyon yani sinüste da bunun türevi buna eşit ve bunu bir de bir fonksiyonun kendisi ile çarpıyoruz Umarım kafamız karışmamıştır pek Burası yani Koşun üste Ta böyle Koşun üste tabiri eşittir Bu eksiyle bu eksilen artı elde edeceğiz sonra sinüste taçar mı sinüste da sinüs kare tetaya eşit olacak ve bir de bölü kosinüs kare teta var Hemen yazıyorum artısı bu karete ta bölümü koşunuz karete da ve Bu da 16 tanjant Kara tetaya eşittir Ayrıca Az önce bunun da Serkan kare detaya eşit olduğunu bulmuştuk o ve neymiş tanjantın türevi Serkan kare detaya eşitmiş Tüm bunları yaptık Ama sonuç olarak çok net bir şey elde ettiğimizi görüyorsunuz değil mi Hemen yazıyorum Dex bölümde tasek Ankara tetaya eşit buradan de X'in ne eşit olduğunu bulmak istersek iki tarafı detayla çarpalım altı çarpıp s Kanka ratata çarpı de tahta Bu arada burada Öncelikle Tan'ın ney eşit olduğunu bulmamız gerektiğini Anladınız değil bu eşitliğin iki tarafını Nar tanjantını alırsak artık tanjant x bölü 6 eşittir tetta elde ederiz Ancak bunu sonraya saklayacağım Şimdi integrale geri dönelim Dex ney 16S Kanka ratat adeta bölüm 36 şarkı bir artı Tanca karete da bunun sekant karete da eşit olduğunu biliyoruz pay ve payda da ki sekant kareler birbirini götürecek ve geriye 6/36 1/6 eder 1/6 de TTK kalacak ve bu da 1/6 tetta artı c ye eşittir son olarak buradaki kesha'nın yerine artan Can x bölü 6 yazacağız ve 1/36 artık S karenin integralini 1/6 çarpı artan jant x bölü 6 artı c olarak bulmuş olacağız İşte bu kadar çok da kötü değil Öyle değil mi MİT mı