If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Uzun Trigonometrik Yerine Koyma Sorusu

Daha zor bir bir trigonometrik değişken değiştirme problemiyle daha fazla alıştırma. Orijinal video Sal Khan tarafından hazırlanmıştır.

Video açıklaması

bu elimizde karekök içinde 6 x x x kare eksi 5 de X'in belirsiz integral yapar Bunun kolay bir integrali olmadığını Hemen fark etmiş olmalısınız bu ifadenin türevi ifadenin bir parçası olmadığına göre u dönüşümünü kullanamayız videonun başlığından da Anlaşılacağı gibi bu integrali almak için havalı bir şeyler yapmamız gerekiyor yapacağımız şey büyük ihtimalle trigonometrik bir yer değiştirme olacak ama yapacağımız yer değiştirmenin hangisi olduğunu da bir çırpıda anlayamıyoruz mesela karekök içinde bir eksikse kare ya da ikskare -1 x kare artı bir gibi bir ifade görsem trigonometrik yer değiştirme yapabiliriz Evet böyle bir şeyle karşı karşıya olsaydık ne yapmam gerektiğini hemen anlayabilirim ama elimizdeki ifade buna benzemiyor karekök var x kare var ama bu istediğim formlardan birine benzemiyor Şunları da sileyim pek ister bu karekök içindeki kareyi tamamlamayı Deneyelim bir bakalım eşittir Bu arada kareyi tamamlamak dediğimde tam olarak ne demek istediğimi anlamadıysanız Bununla ilgili video larımız var onları izlemenizi öneririm devam edelim eşittir karekök içinde -5 eksi ikskare 6x pozitif olduğundan parantezin içinden çıktığında pozitif olması için önüne eksi koyacağım şimdi bunu tam kare yapmamız lazım Bana kendisiyle toplama -6 eden sayının hangisi olduğunu söyleyebilir misiniz -3 Öyle değil mi eksi altının yarısı eksi Üçtür ve kareyi tamamlamak için buraya bir de eksi 3'ün karesi yazmamız lazım onu artı dokuz olarak yazıyor yalnız herhangi bir ifadeye öyle kafama göre bir şeyler ekleyip çıkaramayacağı biliyorsunuz Mesela buraya dokuz ekledim aslına bakarsanız eklemedim çıkardım çünkü parantezin önünde eksi var buraya eklediğim yani çıkardığım 9'u nötral bu için dokuz eklemem lazım hemen yazıyorum artı 9 işte böyle Bunu neden böyle yaptığımı anlamadıysanız hemen bu Parantezi açın eksi x kare artı altı eski Bunlar buradaki terimler -9 ve burada da artı dokuz olduğu için birbirlerini götürecekler ve böylece bu ifadenin aynısını elde etmiş olacağız bunu yapınca ifadenin değerini değiştirmediğini görüyorsunuz diyemem dokuz ekleyince Aslında sıfır eklemiş oldum ama işime yarayacak formada biraz daha yaklaştım Bu arada bunun yerine de doğrudan 4 yazabilirim bu ise ilk seksi 3'ün karesi ne eşit olur ilksin tanesi bu ufak oynamalar sonucu belirsiz integrali karekök içinde 4 eksiği x eksi 3'ün karesi haline getirebilirim de ikisi de unutmayalım şimdi istediğim forma yaklaştığımı söylemiştim Ama bunu elde edebilmek için bura her yerine bir olması gerekiyor Bu yüzden de bunu bir de 4 parantezine alacağım eşittir Evet integral karekök içinde 4 çarpıp bir eksiği x eksi 3'ün karesi bölü 4 Evet bunları da parantezini aldığımda bu iki Terim elde ediyor de eksi de unutmayalım istediğimi elde ediyorum bir kere daha yazayım eşittir dördü de dışarıya alacağım iki çarpı karekök içinde bir eksiği XY 3 bölü 2'nin karesi değil x Evet bu iki nereden mi geldi bunun kesir olarak karesini almak istediğim için fayda ki 4'ün karekökü aldım ve paydaya iki Yazdım şu ana kadar kalkülüs yapmadığımızı da farkındasınız öyle değil mi yaptığım şey bu belirsiz integral bu hale getirecek bazı oynamalar Sonuç olarak eşdeğer bir ifade edin ve bu ifade Alışık olduğum daha doğru ne olduğunu bildiğim bir ifadeye benzemeye başladın bundan önceki videoda size kosinüs kalite Tan'ın bir eksi sinüs kare tetaya eşit olduğunu gösterdiğim hatırlıyorsunuz bunu sinüs karete eşittir bir eksik kosinüs kalitede olarak da düşünebilirsiniz arada bir fark yoktur Ve açıkçası İkisi de işe yarar Herneyse buradaki ifade buna çok benziyor öyle değil hatta bunun sinüs kare tetaya eşit olduğunu düşünürsek tamı tamına aynısı o halde Gelin bu yer değiştirmeyi yapalım Hemen not dediğimi XY 3 bölü 2'nin karesi eşittir sinüs kare teta Bunun iki tarafın karekökünü alırsak XY 3/2 eşittir sinüste ta elde ederiz Bu arada bunu çözerken Bu salatayı yerine geri koymamız gerekeceği için isterseniz tetranın ney eşit olduğunu da bulalım Path ayı bulmak için iki tarafın tersin üstünü yani aksi üstüne almamız gerekir Böylece ta eş Bu bir arksinüs x eksi 3/2 elde ederiz yer değiştirmeyi yapmak için bir de de eksiğine eşit olduğunu bulup sonra da ilksin feda türünden ney eşit olduğunu bulmamız gerekecek bunu da yapalım iki tarafı 2 ile Çarpın -3 eşittir 2 sinüste Ta buradan X2 sinüste ta artı üçe eşit olur iki tarafın Bir de türevini alacağım de x bölü de tahta eşittir bunun türevi sıfır olduğu için sadece iki kosünüs teta yazıyorum de İkisine eşit olduğunu bulmak için iki tarafı detayla çarpalım Böylece deex eşittir ilki kosinüs TED adeta Şimdi de bunları orijinal ifade yerleştirmeniz gerekiyor Bir bakalım in Tekrar iki çarpı karekök içinde bir eksi Bunun yerine sinüs karete yazacağım Evet de iş yerine Ben bunu iki kosinüs TED adeta bu kosinüs kare tetaya eşittir Bir de karekökünü alacağız o halde Bunun yerine karekök içinde kosinüs karete tadan kosünüs teta yazabiliriz bir kere daha yazacağım iki çarpı karekök içinde kosinüs kare tetay yani kosünüs teta çarpı iki kosünüs TED adeta bu buna Bu da karekökün altından gelen ifade Geçit Anlaştık mı Bir eksi sinüs kareden kosinüs kare t-tail dedik karekökünü aldık ve sinüste tahta olur çarpı detabu 4x kosinüs kare tetaya eşittir detayı da unutmayın ve bu da çözülmesi kolay bir integral değil Burada Uu dönüşümü de yapamam Peki ne yapacağız Tabii ki de Sadık dostumuz trigonometrik özdeşlikler den yardım isteyeceğiz birçok telefon Bu arada Matematik kitabında yer alan bu özdeşliği ezbere biliyor musunuz bilmiyorum ama burada kullanacağımız özdeşlik kosinüs kare tetta eşittir 1/2 çarpı bir artı kosinüs iki teta olacak Bunun ispatını da yapmıştık daha önce devam edelim Evet şimdi de bunun yerine bunu yazacağız eşittir integrand 4x kosinüs kare teta yerine 1/2 karpı bir artı kosinüs iki TED Ah yazıyorum Bir dedeta artık kolaylaştı öyle diyemem dört çarpı 1/2 iki eder Parantezi de açalım iki artı iki kosinüs iki TED adeta bunun ters görevini bulmak son derece kolay bunun cataya göre sinüs 2 Titan'ın türevi olduğunu görüyorsunuz diyeyim sağlamasını yapalım mı sen üst 2 Titan'ın türevi nedir Hiçte bu planın türevi ikidir çarpı dıştaki fonksiyonun türevi yani kosünüs iki teta Bu da 2 Titan'ın türevi olduğuna göre eşittir 2'nin tetaya göre ters türevi 2t tadır artı bunun ters türevi de sinüs 2t tadır demiştik yazıyorum sinüs iki teta belirsizin tekrar aldığım için artıcı yine unutmamamız lazım bu noktada orjinal integralini zinx üründen olduğunu ve eksi teta türünden ifade ettiğimizi unutmamak lazım demek istediğim bunu bu şekilde yani teta türünden bırakamayız yer değiştirmeyi tersine çevirmemiz yani teta yerine ifadeleri yazmamız gerekiyor de ta arksinüs xx 3/2 gitti Şuraya bir daha not edemedim Feta eşittir are sinüs ilk seksi 3/2 bunu buraya yerleştirir Sem sinüs iki çarpı Ak sinüs xx 3/2 elde ederim buradan da iki çarpı Ak sinüs xx3 iyi gelir ve bu şekilde sonuca ulaşmış olurum Ama bunun tatmin edici bir sonuç olacağını zannetmiyorum yani bundan çok daha temiz ve net bir cevap elde edebileceğimizi düşünüyorum bunun içinde bunu sinüste talı bir ifade haline getirmeye çalışacağım Çünkü Aksin Üstün sürüsünü alırsak doğrudan ilk 83/2 elde ederiz söylediğimi ne demek istediğimi daha anlaşılır bir şekilde ifade edebilmek adına bunları Eğer sinüste türünden yazabilirsen bakın sinüste ta sinüs arksinüs xx 3/2 denk seksi 3/2 ye eşit olur Kısacası Bunu sinüste tam olarak ifade edebilir sen bunu yapabilirim Ve böylece D'de daha net bir sonuç elde ederim Bakalım bunu yapabilecek miyiz bir başka özdeşlik ten yardım alacağız bunu da ispatını yapmıştık belki hatırlıyorsunuz dur sinüs 2t ta ki bu sinüste ta artı tetaya eşittir Bunu da sinüste a harfi Cosinüs teta artı sinüste ta çarpı kosünüs TED olarak ve bunu iki sinüste ta çarpık o sinüste ta olarak ifade edebilirim bazılarınızın bunu ezbere bildiğinizi biliyorum Hele ki trigonometri sınavınız varsa bu özdeşlikleri ezberlemek Aslında son derece faydalı olacaktır bunu böyle yazalım 2t tahta sinüs 2 Titan'ın yerine iki sinüste Tako sinüste da yazacağım artıcı ya gidi unutmayalım her şeyi sinüste olarak yazmak istemiştim ama burada bearpaw sinüste ta var şimdi ne yapacağım kosinüs kare teta bir eksi sinüs kare tetaya buradan kosünüs teta da karekök içinde bir eksi sinüs kare tetaya eşit öyle değil Bu arada bu ifadeyi zorlaştırdığı mızı düşünüyor olabilirsiniz Ancak bu sayede her şeyi sinüste tam olarak ifade etmiş olacağız Hadi bunu da yazalım integralin sonucu iki teta ara Bu ikisini üst kata çarpı başın üstte da yani karekök içinde bir eksi sinüs kare teta artı c ev buna eşit olduk sonra artık çok yakınız zannettiğinizde zor bir sorayım şöyle değilim Sen üst etabına eşitti hemen yazıyorum ilk Terim iki teta iki çarpı artı Üstten kurtulamayacağınız iki çarpı arksinüs ilk seksi 3/2 artı farklı bir renkle yazayım artık iki çarpık 83/2 çarpı karekök içinde bir eksi sinüs kare TED Ah Yani ilk seksi 3 bölü 2'nin karesi artı cayır de yazıyor Bakalım daha sade bir hale getirebilecek miyiz eşittir 2 arksinüs xx 3/2 artı Bunlar birbirini götürecek ilk seksi üç çarpı karekök içinde bir eksi ilk 13'ün karesi bölü 4 Bu arada bu yaptıklarını düşündüğümden daha da uzun sürüyor ama inat ettim devam edeceğim şimdi bunu ikiyle çarpıp 2'ye böldüğümüzde düşünelim buraya yazıyorum çarpı 2 bölü iki bunu Neden yaptığımı merak ediyorsanız hemen göstereyim iki arksinüs xx 3/2 artı ilk 83/2 yazacağım Böylece bu iki kullanmış oldum paydaki 2'de karekök içinde 4 olarak yazacağım çarpı karekök içinde bir eksiği x eksi 3'ün karesi bölü 4 Tüm bunları yaparak videonun başında yaptıklarımı da bir nevi tersine çevirmiş oluyorum Daha net bir şekilde ifade edeceğim konusunda inat etmemiş olsaydım bunları görmeyecek tik ama İnanın bana çok az kaldı iki arksinüs XY 3/2 artı ilk seksi 3 bölü bu karekökdört ve bunu çarpınca da 4 eksik seksi 3'ün karesi elde ederiz artıcı işte şimdi bitiyor eşittir 2 arksinüs x eksi 3/2 artı ilk seksi 3/2 çarpı karekök içinde dört eksi Parantezi açacağım ikskare -6 x artı dokuz ve bu da 6x eksikse kr4 -9 dan da -5 gelir ve bu videonun başındaki ifadeye eşit olur En sonunda integralini ki çarpı arksinüs xx 3/2 artık 83/2 çarpı karekök içinde 6x eksik SPR -5 artı CR eşit bir yolunu bulduk ve bu da ekranın en tepesindeki ifadenin aynısı İsterseniz onu da yazalım eşittir karekök içinde 6x eksik spare -5 de eksin integral Evet siz de en az benim kadar yorulmuş olmalısınız o kadar çok yazdım ki inanın Elim acıyor Ama onun faydalı bir video olduğunu düşündüğünüz olmuyor bazen sadece kolay soruları çözüme dair şikayetler geliyor ama gördüğünüz gibi bu 3D kolaydı integral değil mi