If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Tanjant İle Trigonometrik Yerine Koyma

1+(x^2) gibi görünen bir şeyin integralini alırken, x yerine tan(theta) koymayı deneyin. Orijinal video Sal Khan tarafından hazırlanmıştır.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.

Video açıklaması

Bu videoda, 1 bölü 9 artı x karenin belirsiz integralini almak istiyorum. Bildiğiniz gibi, a kare eksi x kare gibi sorularda, cevabı, x’in yerine a sinüs teta koyarak buluyorduk. Ama şu anda bu durum söz konusu değil. Hatta karşımızda, a kare artı x kare var. Şimdi, bunun gibi örneklerle karşılaştığımızda, yüzde yüz işe yarayacağının garantisi yok ama x yerine a tanjant teta koyarak çözmeyi deneyebiliriz. Çözüme geçmeden önce de, tanjant tetanın nereden çıktığını anlatayım. Haydi, x’in yerine a çarpı tanjant teta koyalım ve ne olacak görelim. a kare artı, a kare tanjant kare teta. a kare parantezine alırsak, a kare çarpı 1 artı tanjant kare teta. Bir daha yazıyorum. a kare çarpı, 1 yerine, kosinüs kare teta bölü kosinüs kare teta; tanjant kare yerine de, sinüs kare teta bölü kosinüs kare teta yazalım. Burada paydaya neden kosinüs kare’yi koyduğumu anladınız değil mi? Böylece, paydakileri toplayabileceğiz. a kare çarpı, kosinüs kare teta artı sinüs kare teta; bölü kosinüs kare teta. Birim çember tanımlarını düşünürseniz, kosinüs kare teta artı sinüs kare teta, 1 eder. Ve geriye, a kare çarpı 1 bölü kosinüs kare teta, yani a kare çarpı sekant kare teta kalır. Evet, belki, bu işimize yarayabilir. 9 artı x kareyi, 3’ün karesi artı x kare olarak yazabiliriz, öyle değil mi? a, 3 olduğuna göre, x yerine de, 3 tanjant teta koyacağız. Daha sonra, tetanın yerine ne koyacağımızı da şimdiden bulalım. İki tarafı da 3’e bölelim. x bölü 3 eşittir tanjant teta ve buradan da, teta eşittir, arktanjant x bölü 3 olarak bulunur. Bu arada, dx’i unutmayalım. x’in türevi, 3 çarpı, tanjant teta’nın tetaya göre türevi, sekant kare teta d teta’dır. Evet, artık bu integrali almaya hazırız. Evet, haydi bakalım. Belirsiz intergal, dx yerine, 3 sekant kare teta d teta yazıyorum. Bölü, 9 artı x kare. a kare artı x karenin ne olduğunu burada bulmuştuk, o halde, buraya, 9 sekant kare teta yazabiliriz. Eğer anlamadıysanız, bu kısmı baştan yapabilirsiniz. 9 artı 9 tanjant kare teta’yla başlıyoruz. 9 parantezine alırsak, 9 çarpı 1 artı tanjant kare teta. Ve sonuç olarak, 9 sekant kare teta oluyor. Şahane! Şimdi buraya geri dönelim. Sekant kareler birbirini götürdü ve geriye, 1 bölü 3 d teta’nın belirsiz integrali kalıyor. Ve bu da, 1 bölü 3 teta artı C’ye eşittir. Teta’nın yerine de ne yazacağımızı bildiğimiz için, cevabı, 1 bölü 3 çarpı x bölü 3’ün arktanjantı artı C olarak buluruz. Artık, a kare eksi x kare ve a kare artı x kare gördüğünüzde ne yapacağınızı biliyorsunuz. Videonun başında da söylediğim gibi, u yüzde yüz işinize yaramayabilir, yani, bunu bu şekilde yazabilmenize rağmen, integrali çözemeyebilirsiniz ama olsun. Dediğim gibi, değişken değiştirme metodu işe yaramadığı zaman, Bu benzerliği arayabilir ve trigonometrik değişken değiştirme deneyebilirsiniz.