Yerine Koyma Yöntemi Örnek 2

7 x artı 9'un karekökünün integralini alıyoruz. Size ilk sorum şu. Burada yerine koyma yöntemini uygulayabilir miyiz? Bu soruya baktığımızda, u eşittir 7 x artı 9 demek istiyoruz. Ancak, bu ifadenin türevini herhangi bir yerde görüyor muyum? Eğer u eşittir 7 x artı 9 dersek, u'nun x'e göre türevi ne olur? u'nun x'e göre türevi 7'dir. 7 x'in türevi 7, 9'un türevi de 0. Peki, burada 7 görüyor muyuz? Görmüyoruz. İntegralin değerini değiştirmeden buraya nasıl 7 koyabiliriz? İntegral alırken gördüğümüz çok güzel bir sonuç skalerleri integralin dışına alabilmemizdi. Hatırlamak istersek, a skaleri çarpı f x d x'in integrali eşittir a çarpı integral f x d x. Yani skaler ile fonksiyonun çarpımının integrali eşittir skaler çarpı fonksiyonun integrali. Bunu şuraya yazayım. Buna göre, içinde 7 olan bir ifadeyle integrali çarpıp bölebilir miyiz? Evet, 7 ile çarpıp bölebiliriz. Orijinal integrali tekrardan yazayım. Orijinal integrali, 1 bölü 7 çarpı 7 çarpı 7 x artı 9'un karekökü d x'in integrali olarak yazabiliriz. İstersek 1 bölü 7'yi dışarı alırız. Böyle yapmak zorunda değiliz, ama bunu 1 bölü 7 çarpı, 7 çarpı karekök 7 x artı 9 d x'in integrali olarak yazabiliriz. Şimdi u eşittir 7 x artı 9 dersek, bunun türevini görüyor muyuz? Tabii ki! Diferansiyel şeklinde yazmak istersek d u eşittir 7 çarpı d x deriz. d u eşittir 7 çarpı d x. Buradaki kısım d u'ya eşit. u da 7 x artı 9 olacak. Bu, u olarak belirttiğimiz ifade. Şimdi tüm integrali u cinsinden yazalım. 1 bölü 7 çarpı - buradaki 7'yi arkaya yazacağım, böylece karekök u d u'nun integrali diyebiliriz. 7 çarpı d x eşittir d u. Bunu u üzeri 1 bölü 2 olarak yazabiliriz. Böylece kuvvet kuralının tersini daha kolay uygularım. Bunu 1 bölü 7 çarpı u üzeri 1 bölü 2 d u'nun integrali olarak yazabiliriz. u üzeri 1 bölü 2'nin terstürevi nedir? u'nun üssünü 1 artırırız.Öndeki 1 bölü 7'yi unutmayalım. Yani 1 bölü 7 çarpı u üzeri 3 bölü 2 (1 bölü 2 artı 1 eşittir 1 tam 1 bölü 2 veya 3 bölü 2) ve bu yeni ifadeyi 3 bölü 2'nin çarpmaya göre tersiyle çarpıyoruz ki bu da 2 bölü 3'tür. Bunu 1 bölü 7 ile çarpıyoruz ve artı C sabitini şuraya ekliyoruz. İstersek 1 bölü 7'yi dağıtabiliriz. Yani 1 bölü 7 çarpı 2 bölü 3 eşittir 2 bölü 21 u üzeri 3 bölü 2. Ve 1 bölü 7 çarpı bir sabit, bu da başka bir sabittir. Buna C 1, şuna C 2 diyebilirim. Cevabımız u cinsinden olduğu için u yerine x'li ifadeyi koymamız gerekiyor. 2 bölü 21 çarpı u üzeri 3 bölü 2 ve u'nun neye eşit olduğunu biliyoruz. u eşittir 7 x artı 9. Yani cevabimiz 2 bölü 21 çarpı 7 x artı 9'un 3 bölü 2'nci kuvveti artı C'dir. Ve cevabı bulduk.