Güncel saat:0:00Toplam süre:4:05

Süreksizlik Noktalarında Fonksiyonlar ve Limitler

Video açıklaması

Aşağıda f fonksiyonunun grafiği verilmiş. x, k’ye giderken yada yaklaşırken f(x)’in limiti ve f(k) tanımlıysa, Ve f fonksiyonu k’de süreksizse, k değeri nedir? Evet, öyle bir k değeri olmalı ki, öyle bir k değeri olacak ki, hem fonksiyon bu noktada süreksiz olacak, hem de, x, k’ye giderken, f fonksiyonunun limiti tanımlı olacak. Evet, tüm bu koşullar arasında, görsel olarak saptanması en kolay olan süreksizlik. f fonksiyonunun süreksiz olduğu noktalar... Mesela burası. x, eksi 2’ye eşitken, fonksiyon süreksiz. Birden bire, 3’e yaklaştığı bu noktadan, eksi 3’e bir atlama yapıyor. O halde, eksi 2, olası k değerlerinden biri. Başka bir süreksizlik ise, x, 3’e eşitken oluyor. Fonksiyon, 4 buçuktan, eksi 4’e atlıyor. Bu da, 3’ü olası cevaplardan biri yapıyor. Ve son olarak, x eşittir 8 noktasında, fonksiyon 1’e yaklaşırken birden 7’ye atlıyor ve daha sonra tekrar 1’den devam ediyor. Evet, böylece, fonksiyonun süreksiz olduğu değerleri belirlemiş olduk. Şimdi de, bu değerlerin, bu k değerlerinin hangisinde, fonksiyonun tanımlı olduğuna bakalım. Eksi 2. Evet; f, eksi 2’de tanımlı. f, 3'te tanımlı. Bu f 3, bu da f eksi 2. Evet ve f, 8’de tanımlı. Tüm olası k değerleri, yani 8, 3 ve eksi 2, fonksiyonun tanımlı ve süreksiz olması koşullarını sağlamış oldu. O halde geriye birinci koşul kaldı. Bir bakalım. Bu k değerlerinin hangisi için; x, k’ye giderken, fonksiyonun limiti tanımlıymış? Eksi 2 ile başlayalım. x, eksi 2’ye giderken ya da yaklaşırken, soldan limit, yani x’in eksi 2’den küçük değerleri için, fonksiyon, 3’e hatta 3’ten biraz daha büyük bir değere yaklaşıyor gibi görünüyor. Sağdan limit ise, fonksiyonun eksi 3’e yaklaştığını gösteriyor. O halde, eksi 2, aradığımız k değeri olamaz. Çünkü soldan ve sağdan limitler birbirinden farklı. Aynı durum 3 için de geçerli. Bakın, soldan limit, 4 virgül 5, sağdan limit ise, eksi 4. O zaman 3’ü de eledik. Ve geriye sadece 8 kaldığına göre, bu noktada fonksiyonun limiti tanımlı olmalı. x, 8’e negatif yönden yani soldan yaklaşırken, fonksiyonun limiti, 1’e yaklaşıyor ve x, 8’e pozitif yönden, sağdan yaklaşırken de, fonksiyonun limiti 1. Evet, limit iki yönden de aynı. O halde, x, 8’e giderken, f fonksiyonunun limiti, 1’dir diyebiliriz. Yani bu noktada limit tanımlı. Fonksiyonun limiti tanımlı olmasına rağmen, bu noktada süreksiz olmasının sebebi ise, x, 8’e giderken 1 olarak bulduğumuz limitin, f(8)’e eşit olmaması. Daha önce de söylediğimiz gibi, f(8), 7’ye eşit. İşte bu nedenle, 8, üçüncü koşulu da sağlıyor. Fonksiyon bu noktada süreksiz, tanımlı, çünkü f(8), 7’ye eşit ve aynı zamanda bu noktada fonksiyonun limiti de var. Sadece bu noktadaki limit ile fonksiyonun değeri birbirine eşit değil. Ve böylelikle, k’yi 8 olarak bulduk. Evet, k eşittir 8.