Bölümlerin sonsuzdaki limiti (2. Kısım)

Gelin, x sonsuza ya da eksi sonsuza yaklaştığı durumlar için bazı fonksiyonların limitini bulalım. Elimde acayip bir fonksiyon var. 9 "x üzeri 7" eksi, 17 "x üzeri 6" artı 15 "kök x" bölü 3 "x üzeri 7 artı, 1000 "x üzeri 5" eksi, logaritma 2 tabanında x. x, sonsuza yaklaşırken ne olur? Bu sorunun püf noktası, önceki örneklerde de olduğu gibi, hangi terimin baskın olduğunu bulmaktır. Bu soruda, pay'da, üç adet terim var ama (9 "x üzeri 7"), diğer terimlerden daha hızlı artacak. O hâlde, pay'daki baskın terim budur. Payda'da ise, (3 "x üzeri 7") teriminin, "x üzeri 5"li terimden ve "logaritma 2" tabanlı terimden daha hızlı artacağı açıktır. Biz sonsuza yaklaştıkça, bu fonksiyon da kabaca 9 "x üzeri 7", bölü, 3 "x üzeri 7"ye eşit olur. x değerleri arttıkça, yani sonsuza yaklaştıkça bunlar da giderek birbirine yaklaşacaktır ve bunun limitinin bunun limitine eşit olduğunu söyleyebiliriz. Bu da eşittir... x, sonsuza yaklaştıkça... "x üzeri 7"leri sadeleştirebiliriz. 9 bölü 3, yani 3 olur. Limiti, 3'e eşittir. Bu acayip fonksiyonun, x, sonsuza yaklaşırken ki limiti budur. Bu fonksiyonu da aynı şekilde çözelim. Bu da acayip bir fonksiyon. Burada "eksi sonsuza" gidiyoruz ama aynı ilkeler geçerli. x'in mutlak değeri arttıkça, fonksiyonda bulunan hangi terimler baskın hâle gelir onu bulalım. Pay'da, 3 "x küp" terimi payda'da ise, 6 "x üzeri 4" terimi. O hâlde, bu neye eşittir? 3 "x küp", bölü, 6 "x üzeri 4"'ün, x, "eksi sonsuza" yaklaşırken ki limitine eşittir. Peki, bunu sadeleştirirsek ne olur? x, "eksi sonsuza" yaklaşırken, "1 bölü 2 x". Peki bu neye eşittir? Payda'da, giderek büyüyen eksi bir sayı olmasına rağmen sonuç olarak "1 bölü çok büyük bir eksi sayı" söz konusu. Bu da, "sıfıra çok yakın bir sayı" demektir. Tıpkı; x, "eksi sonsuza" yaklaşırken, "1 bölü x"in sıfıra yaklaşması gibi. O hâlde bu fonksiyon, yani yatay asimptot, sıfıra eşittir. İsterseniz grafiğini çizin ya da değerler verip sağlamasını bir yapın. Bu sorunun püf noktası, hangi terimin diğer terimlerden baskın olacağını bilip, uygun sadeleştirmeyi yapmaktır. Şimdi de bu soruya bakalım. x, sonsuza yaklaştıkça, BU acayip fonksiyonun limiti nedir? Aynı şekilde, bu fonksiyonun baskın terimlerini bulalım. Pay'da, 4 "x üzeri 4" payda'da ise, 250 "x küp". Bunlar, en yüksek dereceden terimler. Bu da eşittir; x, sonsuza yaklaşırken 4 "x üzeri 4" bölü, 250 "x küp". Bu da eşittir; limit... Ne olur? Sadeleştirmeleri yaparsak, elimizde ne kalacak? 250'yi alıp, daha sonra... Aslında çok açık. Limit, "4 bölü 250"... "x üzeri 4"ü, "x küp"e bölersek de, sonuç x'tir. Çarpı, x. Tabii; x, sonsuza yaklaşırken. Ya da şöyle de yazabiliriz: "4 bölü 250" çarpı; x, sonsuza yaklaşırken, "limit x". Peki bu nedir? x, sonsuza yaklaşırken, x'in limiti nedir? x, sonsuza kadar artmaya devam edecek. O hâlde burası, işaretlediğim bu limit, sonsuza eşit olacak. Sonsuzla herhangi bir sayının çarpımı da, sonsuza eşittir. Bu nedenle; x, sonsuza yaklaşırken bu ifadenin limiti sınırlandırılmamıştır. Yani, sonsuzdur. Sonsuz olduğunu, ta en başından anlamanın bir yolu da şudur: Fonksiyonun pay'ındaki en yüksek dereceli terim, dördüncü derece. Payda'da ise en yüksek dereceli terim üçüncü derece. Bu nedenle, pay, payda'dan çok daha hızlı artar. Pay, payda'dan çok daha hızlı artıyorsa, fonksiyon sonsuza yaklaşır. Pay, payda'dan çok daha YAVAŞ artıyorsa; yani, payda, pay'dan çok daha hızlı artıyorsa tıpkı ikinci fonksiyonda olduğu gibi o hâlde limit sıfıra yaklaşır. Umarım bu ayrıntılar ilerde işinize yarar.