Çözümlü Örnek: Bir Fonksiyonun Sürekli Olmadığı Nokta

Karşımızda parçalı ve sürekli olan bir fx fonksiyonu var. Bize verilen aralıkların ilki olan, sıfır küçüktür x,o da küçük eşittir 2'de ln x olarak tanımlanan fx,İkinci aralık da yani x'in 2’den büyük değerleri için,x kare çarpı ln x olarak tanımlanmış. Bizden, x, 2’ye yaklaşırken, fx’in limitini bulmamızı istiyorlar. 2’nin, bu iki aralık için sınır değer olduğuna dikkatinizi çekmek istiyorum. Fonksiyonu 2 için değerlendirmek isteseydik bu aralıkta olacağımız için f2, eşittir ln 2 olacaktı. yani 2’nin doğal logaritmasını almamız gerekicekti.Ama bu tabiki de limitle aynı şey değil ! Ve limitin ne olduğunu bulabilmek için, 2’ye sağdan ve soldan yaklaştığımız durumlarda ne olduğunu ayrı ayrı incelememiz gerekiyor. Her iki durumda da limit varsa ve bu limitler birbirine eşitse de, fx’in limitini bulmuş olacağız ! Ee,hadi o zaman başlayalım! Önce, 2’ye sol taraftan yani 2’den küçük değerler için yaklaştığımız durumdaki limiti incelemek istiyorum. Bu durumda, bu aralık içinde yer alıyoruz, yani x’in alacağı değerler 2’den küçük olduğu için 2’ye sol taraftan yaklaşıyoruz.O halde, bu tanımı kullanmamız gerekiyor ve bu tanım, bize verilen aralıkta yani sıfır küçüktür x küçük eşittir 2 aralığında sürekli olduğu için, Bunu, x, 2’ye soldan yaklaşırken, az önce de söylediğim gibi fonksiyon sürekli olduğu için, doğrudan ln 2 olarak yazıyorum. Sıra 2’ye sağdan yaklaşırken ki yani x’in 2’den büyük değerler aldığındaki limit değerlendirmesi var. Yazıyorum,x, 2’ye sağdan yaklaşırken, fx’in limiti, 2, her ne kadar bu aralıkta olsa da, x, 2’den büyük herhangi bir değer aldığında, artık bu aralıkta olacağımız için, Bu tanımı incelememiz lazım.Ve bu tanım da, x’in 2’den büyük hatta 2’den büyük eşit tüm değerleri için sürekli olduğundan, Limit, bu tanımın 2’de değerlendirilmesi ile bulunabilir! Fonksiyonu 2’de değerlendirmek için bu tanımı kullanmamız gerekirdi,ama 2’ye sağdan yaklaştığımız değerler için, fonksiyon bu aralıkta tanımlı olduğundan,bu tanımı kullanıp, 2’de değerlendirmemiz gerekiyor.Yani 2’nin karesi çarpı ln 2.Bu da Yani 4 çarpı ln 2. Gördüğünüz üzere sol ve sağ limitlerin 2'si de mevcut ama yine sizin de gördüğünüz gibi, birbirlerine eşit değiller! Bunu çizecek olsaydık, grafikte bir atlama yani süreksizlik görürdük.O halde, sağ ve sol limit birbirine eşit olmadığından, x=2 ' de bu fonksiyonun limiti yoktur.