Bir Fonksiyonu, Bir Noktada Sürekli Hale Getirecek Şekilde Tanımlamak

f(x)=(6x^2+18x+12)/(x^2-4) fonksiyonu, x eşittir artı eksi iki noktasında tanımsızdır. F(x)’i sürekli yapan f(-2) değeri ne olmalıdır? Soru bize fonksiyonun artı eksi 2 de tanımlı olmadığını söylüyor. Neden böyle söylediğini görebiliyoruz çünkü eğer x 2’ye eşit olsaydı, x kare pozitif 4 olacaktı ve 4 eksi 4, 0 olacaktı. Payda sıfır olacaktı. Bu da tanımsızlık demek. Soru bize f(x)’i sürekli yapan f(-2) değerini soruyor. Peki. . F(x) fonksiyonunu sadeleştirmeye çalışalım. Yeniden yazalım, f(x) eşittir –buraya yazarken sadeleştireyim- paydaki 6’yı dışarı alabiliriz değil mi? 6 parantezine aldığımızda 6 çarpı x kare artı 3x artı 2 olur. Paydada ise ikikare farkı var, onu açarsak da, (x+2) çarpı (x-2) olur. Payda bunu sağlayan eşitliği yazacağız. O zaman, 6 çarpı –farklı renkle göstereyim- iki sayı düşünelim bunları çarpımları 2 ve toplamları 3 olacak, aklımıza gelen ilk sayılar ne? 2 ve 1. O zaman 6 çarpı (x+2) çarpı (x+1). Bunları çarptığımızda x^2+3x+2 oluyor ve bunların hepsini (x+2) çarpı (x-2)’ye bölüyoruz. Şimdi eğer x’in -2’ye eşit olmadığını biliyorsak, pay ve paydayı (x+2)’ye bölebiliriz Bu kısıtlamayı yapıyoruz çünkü eğer x -2’ye eşit olsaydı, x artı 2 0’a eşit olacaktı. Ve bu durumda fonksiyon tanımsız olurdu, belirsizlik oluşurdu. x’in -2’ye eşit olmadığını varsayarak her iki tarafı (x+2)’ye bölüyoruz. Bu 6 çarpı, –payı da paydayı da (x+2)’ye bölüyoruz- 6 çarpı (x+1) bölü (x-2). Şimdi buraya şartımızı kısıtlamamızı yazacağız çünkü fonksiyonu değiştirdik ve bu hali ile fonksiyon x -2’de tanımlı Orijinal fonksiyonda bir şartımız vardı. Bu yüzden buraya ‘x≠-2’ ifadesini ekliyoruz. Burda açık olan diğer bir şartımız da x’in 2 olamayacağı. Pozitif 2’de de tanımlı olamaz, çünkü 0’a bölmüş oluruz. Yani x±2’ye eşit olamaz diyeceğiz. Ama soru bize fonksiyonu bu noktada sürekli yapabilmemiz için f(-2) nin ne olması gerektiğini soruyordu Bu fonksiyon başta verilen fonksiyonla tamamen aynı ama baştaki fonksiyonda x, -2’de tanımlı değildi. Eğer bu ifadenin ilk verilenle tam olarak eşit olmasını istiyorsak, bu şartı buraya koymalıyız. Ama bu fonksiyonu yeniden oluşturmak isteseydik ve bu noktada sürekli olurdu ve x -2’ye eşitken f(x)’in ne olcağını bulabilirdik Yani (6(-2+1))/(-2-2) Bu ne eder? Pay 6 çarpı -1, yani -6, bölü -4, bu da 3/2’ye eşit. f(x)’i yeniden tanımladığımızda; f(x)=(6x^2+18x+12)/(x^2-4) x pozitif ya da negatif 2'ye eşit değilken 3/2'ye eşit. x eşittir eksi 2 için. Bu f(x)’in yeni tanımı, orjinal fonksiyonun genişletilmiş hali. (6(x+1))/(x-2) ‘ye eşit Soruda f(x)’i sürekli yapan f(-2) değeri ne olmalıdır diye soruyordu. Cevabımız, f(x) ya da f(-2), 3/2’ye eşit olmalı.