Güncel saat:0:00Toplam süre:6:20
1 enerji puanı
Studying for a test? Prepare with these 4 lessons on Limitin Temelleri.
See 4 lessons
Video açıklaması
f x eşittir x eksi 3'ün mutlak değeri bölü x eksi 3 diyelim. x 3'e yaklaşırken f x'in limitini bulmak istiyorum. Baktığınızda fonksiyonun x eşittir 3'te tanımlı olmadığını görebilirsiniz - 0 bölü 0 elde edersiniz, bu da tanımsız demektir. Bu soruyu cevaplamak için bu fonksiyonu biraz değişik bir şekilde yazalım. İki duruma ayırmamız gerekir. x büyüktür 3 ve x küçüktür 3. - - - x büyüktür 3. x 3'ten büyük olduğunda bu fonksiyon nasıl sadeleşir? - Burada pozitif bir değer olur. Mutlak değerden aynen çıkar, yani x 3'ten büyük olduğunda x eksi 3 bölü x eksi 3 elde ederiz - x 3'ten büyük olduğu için, pay pozitif olacak ve mutlak değerini alırken değeri değişmeyecek. Yani bu ifadeyi elde ederiz, baştan yazarsak x büyüktür 3 için f x eşittir 1. - x büyüktür 3 için. Şimdi x küçüktür 3 durumunu düşünelim. x 3'ten küçük olduğunda x eksi 3 negatif bir sayı olur. Bunun mutlak değerini aldığınızda eksi 1 ile çarpmanız gerekir. Yani x eksi 3'ün eksisi bölü x eksi 3. Bunları sadeleştirmek isterseniz, x 3'e eşit olmadığı sürece bu kısım 1 olarak sadeleşir, yani eksi 1 kalır. - x küçüktür 3 için, eksi 1. Eğer bana inanmıyorsanız, sayılarla deneme yapabilirsiniz. - 3,1, 3,001, 3,5, 4, 7. 3'ten büyük hangi sayıyı koyarsanız koyun, 1 elde edersiniz. İki aynı ifadenin birbirine bölümü. Ve 3'ten küçük x değerleri de deneyin. Hangi sayıyı denerseniz deneyin, eksi 1 elde edeceksiniz. Bu fonksiyonu görsellemeye çalışalım. Eksenleri çiziyoruz. x ekseni. - Bu da f x ekseni - y eşittir f x. x eşittir 3 noktası bizim için önemli. x eşittir 1, 2, 3, 4, 5 ve böyle devam edebiliriz. - Burada da artı 1, 2, burası y eşittir 1. Bu da y eşittir eksi 1, eksi 2. Böyle devam edebiliriz. - Baştan yazdığımız şekliyle bu fonksiyon, şu fonksiyonla aynı. - Yalnızca farklı bir şekilde yazmış olduk. - - Fonksiyonumuz 3'te tanımsız. Ama x 3'ten büyük olduğunda, fonksiyonumuz 1'e eşit. x 3'ten büyük olduğunda, fonksiyonumuz 1'e eşit. - Yani şöyle bir şeye benziyor ve 3'te tanımsız. Ve x 3'ten küçük olduğunda, fonksiyonumuz eksi 1'e eşit. - Yani şöyle bir şey olacak. - Şöyle. Yine 3'te tanımsız. Grafiğimiz böyle. Şimdi soruyu cevaplamaya çalışalım. x 3'e yaklaşırken limit nedir? x 3'e negatif yönden, 3'ten küçük sayılardan yaklaşırken limitin ne olduğunu düşünüyoruz. - Öncelikle x 3'e negatif yönden yaklaşırken f x'in limitini düşünelim. - - - Bu notasyonda negatifi 3'ten sonra üstsimge olarak yazdım. - - Soldan limit alıyoruz. - - 3'ten küçük değerlerle başlıyoruz. Ve 3'e yaklaşıyoruz. 0'dan başlıyoruz diyelim, f x eşittir eksi 1. 1'e geldiğimizde , f x eşittir eksi 1. 2'ye gelince f x eşittir eksi 1. 2,999999'a ulaşınca da f x eşittir eksi 1. Soldan yaklaşırken limit eksi 1'e yaklaşıyor. - Şimdi x 3'e pozitif yönden, 3'ten büyük sayılardan yaklaşırken limiti bulalım. - - x 5'e eşit olduğunda f x eşittir 1. x 4'e eşit olduğunda f x eşittir 1. x 3,0000001'e eşit olduğunda f x eşittir 1. Yani 1'e yaklaşıyor. - Burada garip bir durum gözlemliyoruz. Soldan yaklaşırken bulduğumuz limitle sağdan yaklaşırken bulduğumuz limit birbirinden farklı. - Eğer iki farklı sayıya yaklaşıyorsak, limit yoktur diyoruz. Yani buradaki limit yoktur. Şöyle de ifade edebiliriz. - - - Ancak ve ancak x bir c değerine negatif yönden yaklaşırken f x'in limiti, x c'ye pozitif yönden yaklaşırken f x'in limitine ve bu iki limit de L'ye eşitse, x c değerine yaklaşırken f x'in limiti L'dir. - - Bunu burada göremedik. Soldan yaklaşırken limit, eksi 1'di. Sağdan yaklaşırken limit artı 1'di. İki taraftan limit aynı değildi. O nedenle bu limit yoktur.