Güncel saat:0:00Toplam süre:7:37

Video açıklaması

Bu videoda size şunu kanıtlayacağım: x, sıfıra yaklaşırken; "sinüs x" bölü x'in limiti 1'dir. Ama trigonometriye girmeden önce, limitin bir diğer özelliğini anlatacağım. Bu da, Sandviç Teoremi. Çünkü Sandviç Teoremi'ni öğrendikten sonra, bu limit eşitliğini kanıtlamak için onu kullanacağız. Aslında sözel olarak açıklayacağım ama konuyu kavradığınızda bunun yeterli olduğunu göreceksiniz. Zaten kavrayamazsanız da, bunu hatırlamanız yeterli. Çünkü bu fonksiyon, ileride trigonometrik fonksiyonların limitine geldiğimizde çok işinize yarayacak. Pekâlâ; Sandviç Teoremi nedir? Sandviç Teoremi, muhtemelen matematiğin en sevdiğim teoremi, çünkü işin içinde "sandviç" var. Evet, karnım acıktı galiba.. daha da yeni yedim ama.. Sandviç Teoremi. Pekala herhangi bir kitaptan çalışırken daha bir, olduğundan daha bir karışıkmış daha bir karmaşıkmış gibi görünür ama değil. Bilmiyorum, daha önce bu teoremi bir kitaptan çalıştınız mı? Çok karmaşıkmış gibi gelir ama dediğim gibi biraz önce de pek de karışık değildir. Bayağı kolaydır hatta. Size şimdi hemen bir örnek vereyim. Örneğim şöyle olsun. Diyelim ki, diyelim ki diyelim ki...Murat, her zaman zeynep'den fazla yemek yer. Birinci önermem bu: Murat, her zaman zeynep'den fazla yer. Ayrıca şunu da söylüyorum: Murat, her zaman... Kimden bahsetsem acaba? Kim olsaaa.. Umut, diyelim. Evet Umut, diyelim. "Tüm günlerde" şartını da ekleyelim. Murat, tüm günlerde, Zeynep'dan fazla yemek yer. Ve Murat, tüm günlerde, Umut'dan da az yemek yer. Ama şöyle bir şey ekleyeyim: Salı günleri Zeynep 300 kalori değerinde yemek yer. 300 kalori yer. 300 kalori yer, komik duyuldu değil mi? 300 kalori alır. Salı günleri, Umut da Umut'da 300 kalori alır. Sorum şu: Murat salı günleri kaç kalori alır? Evet, "Fazla veya eşit" diyelim. Her zaman, zeynep'den fazla veya ona eşit, Zeynep'e eşit; her zaman Umut'tan az veya ona eşit yiyor, Murat. Demek ki, salı günleri 300 kalori değerinde yemek yiyormuş Murat. Sandviç Teoremi'nin ana fikri işte bu. Daha sonra formüllerle de açıklayacağım. Özü şu: Bir şeyden her zaman daha büyük ve başka bir şeyden de her zaman daha küçüksem ve bu iki şey bir noktada birbirine eşitse o hâlde ben de o noktada onlara eşit olmalıyım. Aynı sandviçin arasındaymışım gibi. Yani her zaman Zeynep ve Umut'un arasında Murat. Salı günleri ikisi de aynı noktadaysa, o hâlde Murat'da o noktada olmalı değil mi? En azından o noktaya yakınsamalıyım. Şimdi bunu matematik diliyle yazalım. Belirli bir tanım kümesinde, şöyle yazarsam... Şöyle yazayım: Bir tanım kümesinde; "g x", "fx"ten küçük veya ona eşit; o da "h x"ten küçük veya ona eşit olsun. Şunu da biliyoruz: x a'ya yaklaşırken, "g x"in limiti büyük L olsun. Büyük L. Bir de şunu biliyoruz: x a'ya yaklaşırken "h x"in limiti de büyük L olsun. Sandviç Teoremi'ne göre... Bu teoremi burada kanıtlamayacağım ama ne demek istediğini anlarsanız çok iyi olur. sun image during that journey Sandviç Teoremi'ne göre; x, a'ya yaklaşırken, "f x"in limiti de büyük L olmalıdır. İlk örneğim ile aynı şey. fx", Murat'in yediği yemek "g x", neydi? O da Zeynep'in yediği yemek. "hx","hx" de Umut'un yediği yemek. O zaman şöyle oluyor. Her zaman Murat, Zeynep'den fazla Umut'dan az yiyor. Salı günleri de... Burada ki "a" salı günü oluyor. . Salı günü Zeynep 300 kalorilik yiyorsa, yemek yiyorsa Umut'da 300 kalori değerinde yemek yiyorsa, o zaman Murat'ın da 300 kalori değerinde yemek yemesi lazım değil mi? Durun size grafiğini çizeyim. Şunun bir grafiğini çizeyim. Evet, sandviç Teoremi. teoremi. Sandviç. Sandviç Teoremi. "a virgül L", "a'ya L" noktasını çizelim. "a virgül L" Burada bahsettiğimiz a noktası, burası da L. "g x"in "alt fonksiyon" olduğunu biliyoruz. Çizeceğim yeşil fonksiyon, "g x" olsun. "g x"i çizelim. "g x"in yakınsadığı noktanın... Evet, "gx" böyle bir şey olsun. x, a'ya yaklaşırken "g x"in limitinin L olduğunu biliyoruz. İşte burası. Bu, "g x". "g x"i çizdik. Şimdi "h x"i de farklı bir renkte çizelim. "h x" de mesela şöyle bir şey olabilir. Böyle bir şey. Bu da "h x". "he x" nasıl söylerseniz evet. Ne demiştik: x, a'ya yaklaşırken "h x"... Bir dakika. Burası, fonksiyonun ekseni. "h x" ekseni, "g x" ekseni ya da "f x" ekseni diyebiliriz. Burası, bağımlı eksen. Burası da x ekseni. X a'ya yaklaşırken "hx"in limiti işte tam tam burada bu nokta, yani "h a" L'ye eşit. En azından, fonksiyonun limiti L'ye eşit. Diyelim ki... Aslında bu fonksiyonların hiçbiri "a" noktasında tanımlı olmak zorunda değil. Yeter ki, "g x"in ve "h x"in o noktada limiti olsun. Bu da, unutmamanız gereken önemli bir şey. Burası bize ne anlatıyor? "fx" bu yeşil fonksiyondan her zaman büyük. Ayrıca, "h x"ten her zaman küçük. O hâlde, çizeceğim tüm "f x"ler bu ikisinin arasında olmalı değil mi? Nasıl bir fonksiyon çizersem çizeyim, tanım gereği, diğer iki fonksiyon tarafından sınırlandırılmalı. Ve ayrıca bu noktadan geçmeli. En azından, ona yakınsamalı. O noktada tanımlı olmayabilir ama x a'ya yaklaşırken "f x"in limiti de L olmalı. Umarım bu anlattıklarım size bir şey ifade etmiştir. Ve umarım bu yemekli kalorili örneğimin de yararı faydası dokunmuştur. Ve nede olsa Sandviç Teoremi'nden bahsediyoruz. Yemeği işin içine katmak gerekir değil mi? Neyse Sandviç Teoremi'yle ilgili bu anlattıklarım aklınızda bulunsun. Tüm bu anlattıklarımı; aslında x, sıfıra yaklaşırken, "sinüs x" bölü x'in limitinin 1 olduğunu kanıtlamak için kullanacağız ilerde. Bunu yapmamın nedeni, bu limitin, çok kullanışlı bir limit olması. Ve bir de şu var: Şimdi Sandviç Teoremi'ni öğrendiniz belki ama şöyle de demiş olabilirsiniz: "Çok kolaymış ama nerede işimize yarayacak?" Bunları göstereceğim. Ama tüm bunları bir sonraki videoda göstereceğim çünkü yine süremizin sonuna gelmişiz. Bir sonraki videoda, bu limiti kanıtlayabilmek için Sandviç Teoremi'nin Sandviç Teoremi'nin çok yardımcı olduğunu göreceğiz. Bir sonraki videoda görüşmek üzere. that usually exhibit