If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik
Güncel saat:0:00Toplam süre:8:46

Video açıklaması

bu en eşittir birden sonsuza bir bölü enkare Evet bu seriyi değerlendirelim açılımını yazmamı isterseniz bir artı bir bölü 2'nin karesi yani duart artı bir bölü 3'ün karesi yani dokuz artı bir bölü 4'ün karesi yani 16 olarak yazabilirim ve bu şekilde sonsuza kadar giden bir seri şimdi bu seriyle ilgili Söylemek istediğim birkaç şey var Öncelikle terimlerin hepsi pozitif görüyorsunuz değil mi pozitifler ve az alıyorlar hatta çok daha hızlı az alıyorlar birden 1/4 de sonra 1/9 a ve sonra da 1/16 ya terimlerin hızlıca sıfıra yaklaştıklarını söyleyebilirim Öyle değil mi bunu görünce bu serinin yakın sağlığını düşünmek de son derece mantıklı bir yaklaşım olur ve terimlerin hepsi pozitif olduğuna göre bu seri Eğer yakışıyorsa yakınsa The Deer de sıfırdan büyük bir Değerdir diyebiliriz yakınsa mamasını sağlayacak tek şey sınırsız bir şey ve sonsuza gitmesiyle olur mesela burada bir böyle en olsaydı bu sonsuza giderdi evet bulduklarımız bize bu serinin yakın sıcağına dair ipuçları veriyor ve Eğer bunun sınırlı olduğunu ispatlayabilir seiko'nun yakın sıcağı sonucunda ulaşabiliriz Çünkü Irak sağlaması için ya Artı ya da eksi sonsuza gitmesi gerekiyor Bunun eksi sonsuza gitmeyeceğim denemeyiniz çünkü terimlerin hepsi pozitif Bu arada iki değer arasında gidip geliyorsa da duraksar ama gidip gelmediğini de biliyoruz Çünkü ardışık terimlerin hepsi toplamı arttırıyor bir kere daha söylüyorum çünkü hepsi pozitif isterseniz şimdi bu toplamın sınırlı olduğuna dair bir yargıya varma ya çalışalım ve hatta bu sınırın ne olduğunu da Bulabilirsek serinin yakın sağlığına dair kuvvetli bir argümanı mızda olur bunu yapmak için de bununla bağlantılı bir fonksiyon kullanacağız bu fonksiyonda ev x eşittir 1/2 x kare olacak az önce bir böyle en karenin efen olduğunu da düşünebiliriz öyle değil Ve bunu da bu şekilde yazabilirim bunun neden ilgi çekici olduğunu göstermek için işe grafiğini çizerek başlamak istiyorum Bu ye eşittir eşeksin grafiği ye eşittir refiz bunun sürekli ve azalan pozitif bir fonksiyon olduğunu görüyorsunuz değil mi Özellikle de bizim için önemli olan Aralık'ta Evet X'in pozitif değerleri için bu sürekli pozitif ve azalan bir fonksiyondur ve bu toplamı buradaki alan için düşük bir tahmin olarak kullanabiliriz Öyle değil mi Ne demek istediğimi biraz daha iyi anlatabilmek adına buradaki terimi yani biri buradaki alan olarak düşünebiliriz işte böyle Burası bir bilim genişliğinde ve bir birim yüksekliğinde bir alandır ve alanı da bir birim kare ye eşittir benzer şekilde bu Terim de şu an çizmekte olduğum alanı temsil eder Bu alanın yüksekliği bir 34 genişliği ise bir birimdir ve bu da alanın 1/4 eşit olması anlamına gelir pek ya bu sıradaki dikdörtgenin alanı olabilir mi bakın eğer eğrinin altında kalan alanı bulmaya çalışıyorsak bu terimde Evet bu alanı verir Tüm bu yaptıklarımda sizi integrali Hatta integralden önce ve iman toplamını ilk öğrendiğimiz zamana götürmedim mi Evet bu alanda 1/9 dur bunu da da bizim buradaki alan yani Birden sonsuza kadar bu eğrinin altında kalan gerçek alanı bulmayı biliyor olmamız iş ilginçleştiriyor ve belki de bunu buradaki seri için de kullanabiliriz Biz Bu alanın ne eşit olduğunu biliyoruz ya da bulabiliriz hemen yazıyorum birden sonsuzla efex de x'in integrali Evet bununla yaşıt olduğunu biliyoruz Ve hatta birazdan bunun ne olduğunu da hesaplayacağım Bu değerin ne olduğunu biliyorsak bunu bir 11/4 artı bir bölü 96 1/16 nın üst sınırı olarak kullanabiliriz ve bu sayede bu serinin alacağı değeri sınırlandırılmış olur ve yakın sattığına dair büyük bir ipucu elde ederiz şu anda bir ispat yapmıyorum Ama size yakınsama ve ıraksama testlerinden son derece kullanışlı olan biri olan integral testinin altında yatan mantığı anlatmaya çalışıyorum isterseniz ne olduğunu da not edeyim Evet bunları integral testine giriş olarak düşünebilirsiniz Peki bu ne demek şunu bir kere daha yazayım hatta biraz da farklı yazacağım en eşittir birden sonsuza bir bölü enkare birinci dikdörtgenin alanı Yani bir artı geriye kalanların alanına eşittir 1/4 artı bir bölü 9 artı 1/16 ve bunu da farklı bir renkle en eşittir 2'den sonsuza bir bölü en karenin top bu olarak yazabilirim Buradakilerin yerine bunu yazdım anlaştık işin ilginç yanı buraya mavi ile yazdığım şeyde bu dikdörtgen Artı bu dikdörtgen Artı bu dikdörtgenin alanını eşittir ve Bunun değeri de oradaki belirli integral den küçüktür Bunlar alan adına düşük bir tahmin verdiği yani eğrinin altında kaldıkları için her zaman bu belirli integralden küçük olurlar O halde bu küçüktür bir artı bunun yerine de belirleyin tekrar yazacağım bir artı birden sonsuza kadar bir bölü ikskare değecekse onun ne yaşıt olduğunu biliyoruz Öyle değil mi eğer bilmiyorsanız ya da kısa bir hatırlatma ihtiyacınız varsa kan akademide Bununla ilgili bir sürü video var onları izlemenizi öneririm hemen şuraya yazayım bu limit yeni bir değişken kullanayım dediğim te sonsuza giderken birden ty2 x üzeri eksi 2 DX için eşittir Bu da p sonsuza giderken eksikse üzeri eksi 1 e eşittir ama bunu eksi 1 bölü is olarak yazayım bunun TV Bir de aldığı değerleri bulacağız eşittir limitte sonsuza giderken eksi 1 bölü te eksi eksi 1 bölü birden bir gelir Yani eksi 1 bölü te artı bir de sonsuza giderken bu Terim sıfır olacağı için de sonuç yani integral 1'e eşit olur Onun bir eşit olduğunu bulduk ve böylece bunun alacağı değer için bir üst sınır belirlemiş olduk Evet bahsi geçen serinin Yani en eşittir birden sonsuza bir bölü en Karenin bir artı birden yani 2'den küçük bir değer alacağını artık biliyoruz iki buradaki alan artı bir Yani bunların toplamına eşittir ve biz de bu toplamın 2'den küçük olacağını söylerken toplama bir üst sınır çizmiş ol Evet bu da toplamın artı sonsuza gidemeyeceği anlamına geliyor videonun başında da söylediğim gibi kelimelerin hepsi pozitif olduğundan eksi sonsuza gidemiyordu ayrıca yine terimlerin pozitif olmasına dayanarak iki değer arasında gidip gelmeyeceğini de biliyoruz Ve bu da serinin yakın suyu olduğunu düşünebileceğiniz anlamına gelir çevrenin yakın sağlığını anlamak için kullandığımız mantı az önce de söylediğim gibi belki de ıspat değil ama integral testine dayanıyor e