Serilerin İntegraller ile Tahmini

O resim bu sonsuz serinin yakınsa the değer olduğunu varsayalım bu serinin yakın Satı da bir başka varsayıp serinin tanımında da her teriminin bir fonksiyonu olduğunu görüyoruz bunun integral testinde kullandığımız sevgiyle benzer bir seviye olduğunu başka bir değişle Bu fonksiyonu ilgilendiğimiz Aralık'ta sürekli pozitif azalan bir fonksiyon olduğunu da var sayacağız sürekli pozitif ve azalan Anlaştık mı bu sürekli ve azalan anlamına gelmiyor şu şekilde yazarsam Sanırım daha iyi olacak sürekli pozitif ve azalan Evet buna benzeyen bir fonksiyon olabilir Bu videoda etrafında bir Aralık bulup bulamayacağımız üzerine konuşmak istiyorum Neden diyecek olursanız Öncelikle bunun faydalı bir şey olduğunu söylemek isterim yakınsa the değerini tam olarak ne eşit olduğunu bulabildiğimiz serilerde var ama bunların yanında hangi değeri yakın sağlığını bulamayacağımız seriler ile de karşılaşacağız bu durumlarda bu bilgisayarlardan faydalanmamız gerekebilir ama yine de tahmini bir değer elde etmek son derece faydalı olacaktır ayrıca bunun yanında elde edeceğimiz tahminin mümkün olan en az işlemle mümkün olduğu kadar iyi bir tahmin olmasını daha istiyoruz belki Hadi biraz düşünelim Öncelikle buradaki sonsuz toplamı sonlu toplamlar ın toplamı olarak yazmak istiyorum mesela ilk Kağıthane terimle başlayalım en eşittir birden Kaya kadar efendilerin toplamı bunun hesaplayabileceğiniz bir şey olduğunu fark etmiş olmalısınız K Eğer yeteri kadar düşük bir değer ve evde basit bir fonksiyon sa hesabı hesap makinesi bile yapabilirim isterseniz hesap makinesi de kullanabiliriz Tabii Artı Sonsuz bir seri daha yazacağız Ama bu defa kaka artı birinci terimden başlayıp sonsuza kadar devam edip yine efendilerin toplamını alacağız şimdi eğer bunun alacağı değer için bazı sınır değerleri belirleyebilir sake bunu ve değerlerini de elde etmiş oluruz Öyle değil mi Neden diyecek olursanız Bu ilk a Terim'in kısmı toplamı ve buda bizi gerçek değeri ulaştıracak kalan bunun neye benzeyeceğini buradaki kısmı toplama aldıktan sonra göreceğiz ve bunu yazmak açıkçası bunu yazmaktan çok daha kolay en azından benim için şimdi size soruyorum bunun için sınır değerleri bulabilir miyiz Ne dersiniz bunu yapmak için buradaki grafiği kullanarak integral Test için kullandığımız mantık ve kavramlar üzerinden geçeceğim toplamın bu grafiğe göre neyi temsil ettiğini bulmak için iki farklı yol kullanabiliriz ve az sonra da göreceğimiz gibi bu bir x değeri ve sonsuz arasında yüksek bir tahmin olabilecekken farklı bir bölge için düşük bir tahminde olabilir Hadi bakalım isterseniz önce düşük tahmin üzerine biraz kafa yapalım Evet düşük tahmin buradaki değer İnka olduğunu varsayalım Sarı ne yaparsam daha iyi olacak burası k olsun Burası K artı bir Burası K artı iki biraz daha yakın olmalı kartı iki ve Burası daka artı3 olsunu toplamı gözümüzün önüne getirmek için az sonra çizeceğim dikdörtgenlerden yardım alabiliriz birinci Terim Şu an çizmekte olduğum dikdörtgenin alanına eşit olacak Dikdörtgenin uzun kenarı Evka artı 1'e eşit şuraya not edelim Evka artı bir Kısa kenarı ise bir eşit olduğuna göre alanı Efkan artı bir çarpı birden efka artık bir olur Ve bu da buradaki birinci terimle aynı şeydir öyle değil Evet bu serinin birinci terimi de efka artık bir gün aynı mantıkla ikinci terimi buradaki dikdörtgenin alanı Evet ve üçüncü terimi de bunun alanı olarak düşüneceğiz ve bu şekil ve devam edeceğiz Peki bu dikdörtgenlerin alanlarının toplamı neye eşittir bunun tahmini bir değer olacağını söyleyebilir ve iki çeşittir k ile ise eşittir sonsuz arasında bu eğri ile ilk 80 arasında kalan alana eşit olacağını düşünebiliriz bu tahmin düşük bir tahmin olacaktır tüm bunların alanın içine dahil olduklarına dikkatinizi çekmek istiyorum Bu da R6 disk anın küçük ya da eşit ilk eşittir k ile yüksek eşittir sonsuz arasında en Fix teksin belirsiz integrali olarak yorumlanabilir ve bu sayede kalan için bir üst sınır değeri belirlemiş oluruz öyle değil eşil gençleşmeye başladı neden diye düşünüyorsanız Es buna eşit Öyle değil mi Ve eğer bundan küçük bir değer alacaksa esinde kısmi toplam Artı bu yani Kadan sonsuza kadar apfis değilsin belirt en güzelinden küçük olacağını söyleyebiliriz bu buna eşit Ve eğer bundan küçükse bunun da bununla bunun toplamından küçük olması gerekir Bu sayede de eğer bu ikisinin ne eşit olduğunu hesaplayabilir sekki bunu çoğu zaman yapabiliriz o zaman buradaki gerçek toplamı yakın sıcağı değer içinde bir üst sınır bulmuş oluruz Peki ya alt sınır değeri Bunun için de aynı sonsuz toplama ele alacağız Ama bu defa birinci terimi buradaki dikdörtgen ile değil buradaki dikdörtgende kavramsallaştırma canınız yükseklikleri aynı ama bu Buna göre biraz daha sağa doğru ötelenmiş bir dikdörtgen ikinci terimi bununla 3. terimi de bu dikdörtgenle temsil edeceğiz birinci dikdörtgenin alanı uzun kenarı yani efka artı bir çarpı birden yine efka artı ve eşit olacak evet bu alan birinci bu alan ikinci ve bu alanda 3. terimi temsil edecek Anlaştık mı isterseniz buradaki sarı dikdörtgenleri bir birim sana Otel dediğimizi de düşünebilirsiniz ama bunun az öncekine göre farklı bir alanı temsil ettiğin farkındasınız değil bu eğri ve ilk 80 arasında kalan alanın k ile sonsuz arasındaki değil K artı bir de sonsuz arasındaki toplamına eşit Bu yüzden de bu toplam düşük bir tahmin yerine yüksek bir tahmin elde etmemize sebep olur e eğri dikdörtgenlerin içinde kalıyor değil mi o halde Hemen not edelim R6 indis K büyük ya da eşit K artı birden sonsuza kadar efix de hiçsin belirsiz integral ve bu da bunun alt sınırını belirlemekle kalmayıp buradaki toplam içinde bir alt sınır elde etmemizi sağlıyor bu eğer bundan büyük Evet bu da bunun yerine buradaki belirsiz integral ı koyarak elde ettiğimizde yerden büyük olur not ediyorum Enes büyük ya da eşit es6 in this K artık a artı birden sonsuza kadar efix de eksin belirsiz integral bu noktada içinizden a Bu gerçekten de çok göz korkutucu zaten bir sürü soyut Sembol da işin içine bir de integralleri soktun şimdi ne yapacağız diye geçirmiş olabilirsiniz ama bundan sonraki birkaç videoda da göreceğiniz üzere Bunlar çoğu zaman hesaplaması kolay ifadelerdir Evet eğer K çok iyise hiç zorlanmadan bu kısmı toplamı neye eşit olduğunu hesaplayabiliriz büyükse de bir hesap makinesi Hatta bilgisayardan yardım alabiliriz Bu integralleri ise dediğim gibi çoğu zaman kendi kendimizi hesaplayabiliriz ama hesapla yapmadığımız durumlarda diğer Analitik araçlardan da yardım alabilir son en çok seven yakınsa the gerçek değer için oldukça iyi bir Aralık elde etmiş oluruz Ayrıca K büyüdükçe tahmin iyileştiğini ve tahmin için elde ettiğimiz aralığında kısaldığını göreceğiz buradaki eşitsizlikleri bir araya getirirsek Esin bundan küçük ya da eşit kopyalayıp yapıştırayım ve bundan da büyük ya da eşit olduğunu yazabiliriz yollayayım mı yapıştırayım Hayır böyle değil Evet şimdi oldum şu anda gözümüze korkutucu görünse de önümüzdeki videolarda yapacağımız örnekler ile bunun aslında hiç de göründüğü kadar korkunç bir şey olmadığını anlayacağınızı umuyorum