Euler Formülü ve Euler Özdeşliği

Son videoda, e üzeri x'in Maclaurin serisini bulduk. Birkaç eksi dışında, bu serinin kosinüs x ve sinüs x'in polinom ifadelerinin birleşimi olduğunu fark ettik. Bu eksileri yok etmek için, bir küçük hile yapacağım. Şimdi Şimdi, e üzeri x'in bu polinom açılımını alıyoruz sonsuz sayıda terimle, bu yakınsamadan ziyade eşitliğe dönüşür. e üzeri ix, ne olur? Polinom açılımı olmasaydı, bir tabanın i üssünü almak bize tuhaf gelebilirdi ama, şimdi e üzeri x'in polinom açılımı olduğu bildiğimiz için, biraz daha mantıklı duyulabilir, çünkü i'nin . kuvvetlerini alabilirim. Örneğin, i kare eşittir eksi 1, i küp eşittir eksi i, falan filan gibi... Peki e üzeri ix'i aldığımızda, ne olacak? x yerine ix'i koymakla aynı şey. Polinomda x gördüğümüz her yere, ix yazalım. Burada olayın mantığını göstermeye çalışıyoruz tabii ispat yapmıyoruz. Ama, yine de bu videoda son derece önemli bir sonuca varacağız. Eşittir 1 artı ix artı peki ix'in karesi nedir? Terim ix'in karesi bölü 2 faktöriyel. i kare eşittir eksi 1 ve yanında, x kare bölü 2 faktöriyel var. O zaman, eksi x kare bölü 2 faktöriyel olacak. Sanıyorum, şablonu görmeye başladınız. Peki, şimdi, ix'in kübü nedir? Aslında, öncelikle, açılımının tamamını yazmak istiyorum. Artı ix'in karesi, bölü 2 faktöriyel. Artı ix'in kübü, bölü 3 faktöriyel, artı ix'in dördüncü kuvveti, bölü 4 faktöriyel artı ix'in beşinci kuvveti, bölü 5 faktöriyel, ve böyle devam edebiliriz. Şimdi, bu ix'in kuvvetlerini bulalım. Bu, eşittir 1 artı ix, artı ix'in karesi, yani i kare x kare i kare eşittir eksi 1. O zaman, eksi x kare bölü 2 faktöriyel. Sonra i küp x küp var, i küp eşittir i kare çarpı i, yani eksi i. Demek ki, terimimiz eksi i x küp, bölü 3 faktöriyel. Ve, artı i üzeri 4 nedir? i karenin karesidir. Yani eksi 1'in karesi, bu da artı 1 eder. Buna göre, i üzeri 4 eşittir 1. Sonrasında da x üzeri 4 var. Yani, artı x üzeri 4, bölü 4 faktöriyel. i üzeri 5, 1i olacak. Demek ki, bir sonraki terim, i çarpı x üzeri 5, bölü 5 faktöriyel. Sanıyorum bir örüntü görmeye başladınız. Katsayılar, 1, i eksi 1, eksi i, 1 , i, ve eksi 1 çarpı x üzeri 6, bölü 6 faktöriyel ve sonra, eksi i çarpı x üzeri 7, bölü 7 faktöriyel. Buna göre, bazı terimlerde i var, yani bunlar imajiner terimler, Buna göre, bazı terimlerde i var, yani bunlar imajiner terimler bazı terimler de gerçel. Peki, biz bu ikisini neden ayırmıyoruz? Şimdi, gerçel ve imajiner terimleri ayıralım. Bu, gerçel. Bunlar da gerçel. O zaman, gerçel terimler, 1 eksi x kare, bölü 2 faktöriyel, artı x üzeri 4, bölü 4 faktöriyel eksi x üzeri 6 bölü 6 faktöriyel. Böyle devam edebiliriz. İmajiner terimler nedir? i çarpanını ayıralım. Bu, ix o zaman x kalır bir sonraki terimde i'yi ayırırsak, eksi x küp, bölü 3 faktöriyel kalır. Sonra, artı x üzeri 5 bölü 5 faktöriyel eksi x üzeri 7, bölü 7 faktöriyel. Artı, eksi sonsuza kadar terim ekleriz. e üzeri ix, bunların toplamına eşit. Son birkaç videodan hatırlarsanız, gerçel kısım, kosinüs x'in Maclaurin serisine eşitti. Yani bu ikisi aynı. Buradaki de, sinüs x. Öyle görünüyor ki, kosinüs x ve sinüs x'i bir şekilde toplayıp, e üzeri x'i elde edebileceğiz. Bu, sinüs x, ve sonsuz sayıda terim toplarsak, bu da kosinüs x olur. Sonuçta, mükemmel bir formül elde ediyoruz. Şunu diyebiliriz: e üzeri ix eşittir kosinüs x artı i sinüs x. Bu Euler'ın formülü. Ve bu bilmiyorum size de aynı heyecanı veriyor mu ama bence matematikteki en çılgın formüllerden bir tanesi. İşin içinde bakın kimler var. Daha önce bileşik faizden elde ettiğimiz e var. dik üçgen oranları olan ve birim çemberden elde edilen kosinüs x ve sinüs x'i burada. Bir de tabii eksi 1'in 1 bölü 2'nci kuvveti var. Ve, bu süper bağıntıyı elde ediyoruz. Daha da mükemmeline ulaşmak için, radyan kullandığımızı, ve x'in pi'ye eşit olduğunu varsayalım. Bir çılgın sayı daha ekleyelim. Çemberin çevresinin çapına oranı. Pi. Peki, Pi'yi katarsak, ne olur? e üzeri i çarpı pi kosinüs pi. Peki, kosinüs pi nedir? pi, çemberin yarısı demek yani kosinüs pi eşittir eksi 1 ve sinüs pi eşittir 0. Bu terim, ortadan kalkar. Formüle pi sayısını koyarsak, inanılmaz bir şey elde ederiz. Euler Özdeşliği. Böyle yazabiliriz, veya iki tarafa 1 ekleyebiliriz. Vurgulamak için farklı bir renkte yazayım. e üzeri i pi artı 1 eşittir 0. Bu, size, kainatta henüz anlamadığımız en azından benim henüz anlamadığım, bir bağlanmışlık olduğunu haber veriyor. i sayısı, mühendisler tarafından, polinom köklerini bulmak için tanımlanmış. Pi, çemberin çevresinin, çapına oranı. Yine ilginç bir sayı. Ama, tamamen farklı bir alanda bulunmuş. e'nin ise, finans için çok önemli olan sürekli bileşik faizden veya türevi kendiyle aynı olan e üzeri x'ten geldiğini düşünebilirsiniz. Yine mükemmel bir sayı, ama i veya pi'yle alakası yok gibi. Sonra da en temel sayılardan olan 1 ve 0 var. Bu özdeşlik, tüm bu temel sayıları mistik bir şekilde birbirine bağlıyor ve kainattaki bağlanmışlığı bize gösteriyor. Evet, bundan etkilenmiyorsanız, duygudan yoksunsunuz demektir.