sin(x)'in Maclaurin Serisi

Bir önceki videoda, kosinüs x'in Maclaurin serisini bulmuştuk. Bu polinomla yaklaşık değerler bulmuştuk ve, şu ilginç örüntüyü görmüştük. Şimdi Maclaurin serisiyle sinüs x'e yakın değerler bulalım ve benzer bir örüntü olup olmadığını görelim. Önce hatırlayalım, Maclaurin serisi, 0'da ortalanmış bir Taylor serisidir. Şimdi f x'i sinüs x'e eşitleyelim. Ve, kosinüs x'e uyguladığımız süreci tekrarlayalım. kosinüs x'in türevlerini hızlıca alalım. Birinci türevi, kosinüs x. İkinci türevi, kosinüs x'in türevi, yani eksi sinüs x. Üçüncü türevi ise, bunun türevi olacak. Üssü üssü üssü yazacağıma, parantez içinde 3 yazacağım. Buna göre, üçüncü türev eksi kosinüs x. Dördüncü türev ise, tekrar sinüs x. Şimdi görüyorsunuz ki sinüs de kosinüs gibi, belli sayıda türev aldığınızda bir döngüye gidiyor. Maclaurin serisini yazmak için, fonksiyonun ve türevlerinin 0'daki değerlerini bulmamız gerekiyor. Şimdi bunları bulayım. f 0 eşittir 0. f üssü 0 eşittir 1 kosinüs 0 eşittir 1. Eksi sinüs 0 eşittir 0. Yani f'nin 0'daki ikinci türevi eşittir 0. 0'daki üçüncü türev, eksi 1. Kosinüs 0 eşittir 1 başta da eksi var, yani eksi 1. 0'daki dördüncü türev de 0. Böyle devam edebiliriz, ama 1, 0 eksi 1, 0 gibi bir örüntü gördüğümüz için, bu örüntüyü de kullanabiliriz. Şimdi, Maclaurin serisi kullanarak, sinüs x'i polinom cinsinden tanımlayalım. Şuradakinin kosinüs x'in Maclaurin serisi olduğunu hatırlayalım. Kosinüs x'e yaklaştığını biliyoruz. Ne kadar yaklaştığını ispatlamasam da terim sayısı sonsuza doğru arttıkça bunun kosinüs x'le aynı olduğunu biliyoruz Şimdi aynı şeyi sinüs x için yapalım. İşte yeni p x'imiz. Buna terimler ekledikçe, sinüs x'e yaklaşacak. İlk terim, f 0 eşittir 0. Yani, bunu katmamıza gerek yok. Bir sonraki terim, f üssü 0 eşittir 1 çarpı x. Ondan sonraki terim ise, f'nin 0'daki ikinci türevi, ki o da 0. O zaman, üçüncü terimimiz olmayacak. Şuradaki dördüncü terim, sinüs x'in 0'daki üçüncü türevi eksi 1. Aşağı ineyim de, eksi 1'i görün. Evet burada, eksi 1 çarpı x küp bölü 3 faktöriyel olacak yani eksi x küp bölü 3 faktöriyel.. Bir sonraki terim, 0 olacak çünkü 0'daki dördüncü türev bu terimin katsayısı. O da 0. O zaman onu da katmıyoruz. Bir terim daha bulayım da, örüntüyü daha iyi anlayalım. f'nin beşinci türevi, kosinüs x olacak. Yani, f'nin 0'daki beşinci türevi, 1 olacak. f'nin 0'daki dördüncü türevi 0, beşinci türevi ise 1. Buna devam edersem, artı 1 çarpı x üzeri 5, bölü 5 faktöriyel. Burada ilginç bir örüntü var. Kosinüs x'te tek üslü x'ler yoktu. Yalnızca, çift üslü x'ler vardı, onları da üssün faktöriyeline bölüyordum. Terimler de bir artı, bir eksi gidiyordu. 0 2, 4, 6 gibi sıralanıyordu. Bununla karşılaştırırsanız, ayrıca ilginç. Burada x'in tek üsleri var x'in birinci kuvveti, bölü 1 faktöriyel.1 faktöriyeli yazmadım. Şurada, x küp bölü 3 faktöriyel artı, x üzeri 5, bölü 5 faktöriyel. Ve böyle devam edebiliriz. Ayrıca, artı, eksi, artı, eksi diye işaretleri değiştire değiştire yazmamız gerekiyor x üzeri 7, bölü 7 faktöriyel artı x üzeri 9 bölü 9 faktöriyel. Kosinüs ve sinüs arasındaki tamamlayıcı unsuru burada görebilirsiniz. Kosinüs x, x'in çift üsleri bölü üssün faktöriyeli. Sinüs x'in polinom gösterimi ise, x'in tek üsleri bölü üssün faktöriyeli ve işaretleri değiştiriyoruz. Bir sonraki videoda ise, e üzeri x'i yapacağım. e üzeri x, ikisinin biraz birleşimi gibi görünüyor, tam olmasa da. İmajiner sayıları eklediğimizde ise sinüs ve kosinüsün birleşimi oluyor ve bu, gerçekten akıllara zarar bir olay haline dönüşüyor.