Kuvvet Serilerinin İntegrali

O bize Efe X'in n eşittir birden sonsuza kadar ne artı bir bölü 4 üzeri en artı bir çarpı ilk üzeri enin toplamı olduğu söyleniyor ve biz bunun sıfırla bir arasındaki belirli integralini bulmak istiyoruz Her zaman olduğu gibi hemen videoyu durdurun ve soruyu benden önce Kendi kendinize çözmeye çalışın Bu arada videoyu istediğiniz herhangi bir anda durdurabilirsiniz Tabii bu efex buradaki Seriye eşit olduğuna göre Hemen not ettiğim n eşittir birden sonsuza kadar ne artı bir bölü 4 üzeri en artı bir Çarpı x üzeri endekse yapacağım şey çoğunuz için yeni bir şey olabilir ama aslında terimlerin toplamının belirli integralini almaktan başka bir şey olmayacak Bu da birden fazla belirleyin tekrarını toplamından başka bir şey daha açık olması adına şöyle de yazabilirim 0'dan 1'e kadar belirli integral ve burada bir sürü Terim olacak bunlardan fonksiyonlar olarak da bahsedebiliriz gerekse artı arşivix ve bu şekilde devam edebiliriz DX bunun fonksiyonların ayrı ayrı integrallerin toplamına eşit olduğunu yazabiliriz yani 0'dan 1'e kadar gxd X'in belirli integrali artı 0'dan 1'e kadar aşık diyeceksin belirli integrali ve bu şekilde devam edecek yani kaç tane terim varsa Anlaştık mı bu integralin özelliklerinden biridir ve Şimdi burada da bunun aynısını yapacağız tekpark burada Sigma gösterimini kullanacak olmamız eşittir n eşittir birden sonsuza kadar bu terimlerin her birinin belirli integraller inin toplamı şöyle yazalım 0'dan 1'e en artı bir bölü 4 üzeri en artı bir Çarpı x üzeri en değil x terimlerin integrallerin toplamını aldığımızı fark ettiniz değil mi Bu kez anca bunun ney eşit olduğunu bulalım eşittir ne birden sonsuza kadar altını çizdiğim ifadenin ters türevini alalım hiç üzeri en artı bir olacak ve en artı bire böleceğiz en artı bir bölü 4 üzeri en artı bir evet bu ise göre düşündüğümüzde bir sabit ve az önce dediğim gibi kuvveti bir arttırıp yeni kuvvete böleceğiz Bu da kuvvet kuralının tersidir zaten eksi üzeri en artı bir bölü en artı bir ters görevi aldık ve tüm terimlerin sıfırla Bir de aldıkları Eğer bulmaya kaldırmış ama bundan önce Sanırım bu ifadeyi biraz sadeleştir e biliriz burada bir en artı 1 var ve burada da bir en artı 1 var Evet ne eşittir birden Sonsuzluğa Ekspress eşit olduğunda ilk üzere En artı bir bölü 4 üzeri en artı bir bir üzeri en artı bir bölü 4 üzerine O da bir orexi sıfır üzeri en artı bir bölü 4 üzeri en artı bir Ama bu Sıfıra eşit olacağı için bunu yok sayabiliriz ve gördüğünüz gibi son derece basit bir ifade elde ettik eşittir ne birden sonsuza kadar 1/4 üzeri en artı bir evet bu toplama eşit bir Alkışı hak ettiğimizi düşünüyorum yavaş yavaş ayrıca bunun sonsuz bir geometrik seri olduğunu da fark ettiniz diyeyim ilk Terim nedir diye sorarsam not ediyorum birinci Terim en biri eşit olduğunda 1/4 üzeri ikidir doğru oldu değil mi bakıyorum ne bir eşit olduğunda bir bölü 4'ün karesi elde edeceğiz ki bu da 1/16 ya eşit Peki ortak oranımız 1/4 ve çarpmaya devam edeceğimiz için o da 1/4 sonsuz geometrik seriler de ortak oranın mutlak değeri birden küçük olduğunda serinin yakın sil iyi biliyoruz yakın sıcağa değer de birinci Terim Yani bir bölü 16/1 eksi ortak olan Yani bir eksi 1 bölü 4 ki bu da 3/4 eder bu da 1/16 çarpı 4 bölü 3 E yani 1/12 ye eşittir İşte bu kadar ilk başta göze korkutucu gibi görünse de bunun bir toplamını integralı olduğunu anladığınız anda belirsiz integrallerin toplamını alabileceğimizi gördük Evet buradaki sonsuz integrallerin ters türevini aldığımızda sonsuz bir geometrik seri yerde tek ve bunun toplamı nasıl bulabileceğimizi de çok iyi biliyoruz Öyle değil mi Evet bu kadar Bu da