If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Integral ve Türev İçin Yakınsaklık Aralığı

Bir kuvvet serisinin terim terim türevini ya da integralini, sadece yakınsaklık aralığında alabiliriz. İntegral ve türevin yakınsaklık aralığı sınır değerleri hariç aynıdır. Bir örnek görmek ister misiniz?

Video açıklaması

ve kuvvet serileri ile uğraşmaya devam edin bu serilerin türevini ya da integralini almak istiyor olabiliriz ve genel olarak bunu Terim Terim yani her Terim'in tek tek türevini ya da integralini alarak yaparız ne demek istediğimi tam olarak anlatamamış olabilirim aslına bakarsanız evin türevinin Yani ev üstü X'in bu terimlerin türevlerini eşit olacağını söylemek istiyorum şöyle yazalım n eşittir birden sonsuza kadar ne ve tek üzeri e nin türevi nedir Ne çarpık süzeren -1 değil mi yazalım Ne Çarpı x üzerine eksi 1 bölü neler birbirini götürünce geriye eksi üzeri en -1 olacak ne Evet bunun x göre türevini aldığımızda bunu elde ediyoruz benzer şekilde integralini almak istersek de nefis de x'in integrali de bir sabit artı buradaki toplamın terimlerinin ayrı ayrı integralini eşit olur neye eşittir birden sonsuza kadar kuvvet 3D rap yeni kuvvete böldüğümüzde eksi üzeri en artı bir bölü ne artı bir elde ederiz ve çarpı neyde unutmayalım kuvvet serileri ile çalışırken bu tekniğin sıklıkla kullanıldığını bilmelisiniz ve bunu sadece kuvvet serisinin yakınsaklık aralığındaki iç diğerleriyle yapabileceğimiz için şimdi biraz daha detaya gireceğiz Ayrıca Az sonra bu iki serinin yakınsaklık aralıklarının azıcık farklı olduğunu da göreceğiz aslına bakarsanız aralıklar benzerdir ancak uç noktasında olan biten biraz farklı olacak dersem Evet daha doğru olur bu noktada her zaman olduğu gibi sizden hemen videoyu durdurup bu iki serinin yakınsaklık aralıklarını Kendi kendinize bulmanızı isteyeceğim Evet bu orijinal serinin integrali bu ise Türe verip isterseniz serinin kendisiyle başlayalım ve yakınsaklık aralığının ne olduğunu bulalım bunu oran testleri yaparak bulabiliriz Öyle değil mi Orhan hem de en sonsuza giderken altın Defne artı bir yani iex üzerine artı bir bölü ne artı bir bölü altın desen yani iksir üzerine bölünenin limitini değerlendirmemiz lazım bunun mutlak değerini de alacağız ne sonsuza giderken bunun limiti bir Bakalım bunu ve bunu hiç üzerine bölersek Bu bir olur Bu da exe ve buradaki en de yukarı gelir yani exe çarpı en bölümü en artı bir elde ederiz en sonsuza giderken limitini değerlendirecek olursa daha pay ve paydayı neye bölersek x bölü bir artı bir bölü en elde ederiz en sonsuza giderken Bunun değeri sıfıra yaklaşacağını dan Sonuç olarak buradan X'in mutlak değerini elde etmiş oluruz oran testine göre de bunun burası Eğer birden küçükse ya Ya bırak birden büyükse ıraksak ve bir eşitse de sonsuz olacağını biliyoruz Hemen not edelim X'in mutlak değeri Eğer birden küçükse yakınsak birden büyükse ıraksak olacak Belki eksi mutlak değeri bir eşitse ne olur diye sorarsam ne cevap verirsiniz oran testi İşte bu durumda işe yaramaz yani başka bir test uygulamamız gerekir isterseniz X'in biri eşit olduğu durumda ne olacağına beraberce bakalım Xperia eşitken seriyi en eşittir birden sonsuza bir üzerine bölünenin toplamı bu bir bölü neye eşit olur öyle değil mi ve bu da Pepee'nin bir eşit olduğu p serisi yada harmonik seri haline gelir bundan önceki bir kaç videoda gördüğünüz gibi bunu Nur aksadığını da biliyoruz Evet hiçbiri eşit kenar Aksar diye not ediyorum ve qixin -1 e eşit olma bu durumda ne olur -1 eşitken bu ne eşittir birden Sonsuzluğa -1 üzeri en bölümü en eşit olur ve bunun da değişen harmonik seri olarak adlandırıldığını duymuş olabilirsiniz ve değişen seriler testini yaparsak bunun yakın sadığı sonucuna Ulaşırız Evet bunu da farklı videolarda görmüştük Buna dayanarak buradaki orijinal serinin yakınsaklık aralığını not ediyorum Evet yakınsaklık aralığı eksi bir küçük ya da eşit ilk Sevmedik seksi bir olduğunda yakın suyurdu Öyle değil mi ve x küçüktür bir olarak belirleyebiliriz neden diyecek olursanız Ekspress eşit olduğunda Irak diyordun evet orijinal fonksiyonun yakınsaklık aralığını bulduk be Kim ya bu yani türevin yakınsaklık analı ne olur tür Emine aldığımızda 250 sıfır artık hiç üzeri bir artık bu içecekten de başlar ve bu şekilde devam ederiz bunun ortak oranı ise olan geometrik bir seri olduğunu fark ettiniz değil mi not ediyorum ortak oranlarıyla gösterelim Evet bu exe böyle bir geometrik seriyi geometrik serilerin yakınsaması içinde ortak oranın mutlak değerinin birden küçük olması gerektiğini biliyoruz Ve Evet birden küçük olması lazım Bu yüzden de Elif'in türevini aldığımızda elde ettiğimiz yakınsaklık analı bunun neredeyse aynısı olacak hemen bunu da no dedim yakınsaklık aralığı eksi bir küçüktür x o da küçüktür bir olacak bu Aralıkta ikisinin -1 e eşit olamayacağının altını çizmek istiyorum Neden Çünkü xi-1 veya bir olduğunda seri duraksar şimdi bu aralıkların hemen hemen aynı olduklarını söyleyebiliriz bunların sıfır merkezde seriler olduklarını göz önünde bulunduracak olur isek yakınsaklık yarıçapı Bu da aynıdır burada ve burada da bir aşağı bir yukarı gidebiliriz ve bu genel bir doğrudur yani aralıklar hemen hemen aynıdır ama sınır değerleri farklı olabilir bunun doğruluğundan emin olmak adına sizi oran testini ve sınır değeri koşullarını kullanarak buradaki integralini yakınsaklık aralığı ne olduğunu bulmaya davet ediyorum yakınsaklık yarıçapının Yine aynı olduğunu göreceğiz yani Sıfırın bir altına girip bir Üstüne çıkıyor olacağız bu Aralıkta olacağız ama göreceğiniz gibi bu iki çeşittir -1 velix eşittir bir içinde yakın sıcak uzun hikayeyi Kısa kesmek adına bunun yakınsaklık aralığında -1 küçük ya da eşittir eksi ona küçük ya da eşittir bir olduğunu göreceğiz yakınsaklık yarıçapları aynı ama aralıkların sınır değerleri farklı un ispatını yapmak için orjinal fonksiyon için kullandığımız tekniği yani oran testini kullandığınızda ilk eşittir bir ve çok gereksiz bir durumlarda değerlendirmemiz gerekecek ve eksi bir eşit olduğunda değişen p serisi Yani yakınsayan bir seviyede edeceksiniz hiçbir eşit olduğunda da paydasının derecesi Birden büyük bir p serisi yada pes serisine benzeyen bir Seriye edeceksiniz ki testi yaptığımızda bunun da yakın sattığını göreceksiniz o