If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik
Güncel saat:0:00Toplam süre:6:49

Video açıklaması

Evet şu ana kadar sonsuz seriler için bir sürü örnek gördük Bu videoda sonsuz serileri kullanarak bir fonksiyon tanımlayacağız ve ben bunun son derece ilgi çekici bir şey olduğunu düşünüyor bu konuda tüm matematik kariyeriniz boyunca da sıklıkla karşılaşacağınız seri bir kuvvet serisidir size kuvvet serisinin genel formunu yazıyor Ne evet diyelim ki efix fonksiyonu n eşittir sıfırdan sonsuza kadar A6 hindi sen ki bu terimlerin katsayısı dır çarpık XY sabit bir sayı olan CC üzeri en olarak tanımlamışlardır bunu genişleterek yazacak olursak birinci Terim'in katsayısı 670 olacak çarpık seksi C üzeri sıfırn Evet artı ikinci Terim'in katsayısı olan 6 indir bir çarpık seksi C üzeri bir Bu arada bunun alt indi sıfıra bu O da altın this bir çarpı eksi çeşit olacağını biliyoruz devam edelim artı altı indisi ki çarpık seksi C üzeri iki ve bu şekilde sonsuza kadar devam edebiliriz Şimdi bunu gördüğünüzde geometrik serilerin kuvvet serilerinin özel bir şekli olduğunu düşünmüş olabilirsiniz bu durumda ortak oran R yerine eksi ya da bir değişken olur Ve eğer bu şekilde düşünüyorsanız son derece haklı olur da bilmelisiniz hemen not ediyor geometrik sevilir Evet geometrix eviyle tanımlayabileceğimiz bir fonksiyon düşünelim Bu arada her seferinde Bağımsız değişken olarak eksik kullanmamıza daha gerek yok ama fonksiyonlar genel olarak bu şekilde ifade edilirler da bir boomx yerine R kullanmaya engel değil Her neyse şimdi gereksin en eşittir sıfırdan sonsuza açar bu x üzeri en olduğunu varsayalım Bu tipik bir geometrik seridir Peki bana bununla bunun arasındaki Farkın ne olduğunu söyleyebilir misiniz Aralarındaki fark buradaki terimlerin katsayısı aiken Buradakilerin a alt indi Sen oluşur burada her seferinde aynı katsayıyla çarparken burada kaç sayılarımız da her defasında değişiyor ve buradaki geometrik seviyeyi ilk seksi üzeri en yerine eksi üzeri en olarak tanımladık bunun cenin sıfır eşit olduğu özel bir durum olduğunu da düşünebiliriz burada genişletelim Ağa çarpı Hah üzeri 0 ki bu aya eşittir artı a Çarpı x üzeri bir artı a çarpı x152 ve artı nokta nokta nokta işin heyecan verici ya da ilgi çekici kısma bazı koşullar altında bunun bize ne oldu bir değer vereceğine yani yakın sıcağını bilmemiz der ki Sizce buradan sonlu bir değer elde etmemizi sağlayan bu özel koşullar ne olabilirler bunun yakınsaması için öncelikle terimlerin giderek küçülmesi gerekir ve bu terimler ortak oranın mutlak değeri birden küçükse giderek küçülür Hemen not ediyorum ortak oranın bak değeri bir küçük ise yakınsar bunu -1 küçüktür x o da küçüktür bir olarak da ifade edebiliriz expere değişken olduğunu göre bu değerler arasında herhangi bir değer alabilir ve fonksiyonu tanımladığınız değişkenin değer aralığında yakınsaklık aralığı adını veririz Evet x Eğer bu aralıktan bir değer alıyorsa bu seriden sonlu bir değer elde edeceğimizi söyleyebiliriz ve bu sonu dedim ya da bu ne olacağını da biliyoruz bu seriyi Eğer yakın susuyorsa birinci Terim yani Ağa bölüğü bir eksi ortak oran bir terimden diğerine geçerken x çarptığımızda göre ikisi elde ederiz Bu son Recep faydalı Çünkü bu sayede sıklıkla karşımıza çıkan fonksiyonları bu hale getirip geometrik bir seri gibi genişletebiliriz kuvvet serilerinin Ya da buradaki örnekte olduğu gibi geometrik serilerin fonksiyonları tanıması mühendislikten Finans'a kadar hayatımızın birçok alanında sıklıkla kullandığımız bir şeydir bu serilerin sonlu sayıda terimini kullanıp fonksiyonlar için insan beyninin anlayabileceğim ölçüde basit tahminlerde bulunur ve serilerle oynayabiliriz İlginç olan şeyse genişletilmiş program busonlu değere geçmeden bu şekilde ifade edilmiş bir şeyi alıp genişletilmiş form da gelecek olmaz tabii Bunu sadece yakınsaklık aralığında yaptığımız konusunda dikkatli olmamız gerek demek istediğim bu sadece ve sadece yakınsaklık aralığında geçerlidir matematik kariyeriniz boyunca göreceğiniz terimlerden biri Diğeri ise yarı çatır Evet yakınsaklık yarıçapı konuda x değerinin önceden hangi belirli miktarda küçük olması durumunda serinin yakın sıcağını belirleyen bir başka ölçülür mesela burada cd70 ex-01 değeri içinde olduğu sürece bu yakın sıcak ve burada da bu değerinin bir olduğunu görüyoruz Ekspress kadar gidebilir ama bir olamaz ya da eksi Birden büyük de olabilir ancak -1 olamaz şöyle söyleyeyim X'in sıfırdan uzaklığı pozitif ve negatif yönde birden küçük olduğu sürece bu seri yakınsın bu bu yakınsaklık yarıçapının 1'e eşit olması anlamına gelir yakınsaklık aralığı ise -1 ile bir arasındaydı -1001 in dahil olmadığını da hemen ekli bu durumda Aralık ikiye eşittir ve Yarıçap da bunun yarısı yani bir olur bir kere daha tekrar dediğini X'in sıfırdan uzaklığı birden küçük olduğu sürece bu seri yakınsar Anlaştık mı o