Serinin Iraksaması

Diyelim ki, 1 eksi 1 artı 1 eksi 1 artı 1... Böyle devam eden bir toplam var. Bunu sigma gösterimi ile yazmak istersek, Küçük n, 1’den, sonsuza kadar... Evet, burada sonsuz sayıda terim olacak. Birinci terimin pozitif 1 olmasını istiyoruz, sonrasında ise, her terim için işareti değiştireceğimizden, buraya, Eksi 1 üzeri n eksi 1 yazacağız. Doğru oldu mu? Bakalım. n, 1’ken, eksi 1 üzeri sıfır, budur. n, 2’yken; eksi 1 üzeri 2, eksi 1; 1 eder. Eksi 1 üzeri 1 ise, eksi 1’dir. Evet, eğer istersek, bu seriyi, bu şekilde de yazabiliriz. Şimdi, bu serinin belirli bir değere yakınsayıp yakınsamadığını bulmak istiyorum. Başka bir deyişle, bu serinin toplamının belirli bir değeri var mı, yok mu, bu seri ıraksıyor mu, bu sorulara cevap arayacağız. Ve bu sorulara cevap vermek için, cevap verebilmek için,kısmi toplamlardan bahsetmemiz gerekiyor. Evet, yazıyorum, kısmi toplamlar. Bir indis seçelim. Büyük N indisli kısmi toplam, Küçük n eşittir 1’den, sonsuza kadar değil ama, büyük N’ye kadar olan, eksi 1 üzeri n eksi 1’in toplamı olacak. Mesela, 1 terimli kısmi toplam, küçük n, 1’den, büyük n 1’e kadar olacağı için, buradaki birinci terimi almamız gerekecek. Aynı şekilde, S 2, 1 eksi 1, yani ilk iki terimin toplamı olacak. S 3, ilk üç terimin toplamı, yani 1 eksi 1 artı 1. Bu, 1’e, bu sıfıra, S 4 de, 1 eksi 1 artı 1 eksi 1’den, sıfıra eşittir. Evet, şimdi soruyu tekrar etmek istiyorum, bu toplam belirli bir değere yakınsar mı? Evet, videoyu durdurun ve az önce kısmi toplamlar hakkında söylediklerimi de düşünerek bu soruya cevap vermeye çalışın. Sonsuz bir serinin yakınsaması için, bakın, yakınsamak, büyük N sonsuza giderken, kısmi toplamın limitinin belirli bir sayıya eşit olması anlamına gelir. O zaman, gelin, bu limiti bulmaya çalışalım. Genel bir ifade kullanacak olursak, büyük N, tekse, toplam 1; büyük N, çiftse de, sıfır. Öyle değil mi? Hemen yazalım. S N, büyük N, tekse, 1. Çiftse de, sıfır. Bu durumda, büyük n sonsuza giderken, S n’in limiti ne olur? Limit, N sonsuza giderken, S N. Böyle bir limit yoktur. Neden? Çünkü toplam, bu iki değer arasında gidip geliyor. 1 arttırınca sıfırdan 1’e çıkıyor, 1 daha arttırırsak, 1’den sıfıra düşüyor. Bunun için, limit, belirli bir değere yaklaşmıyor. Yani, böyle bir limit yok. Belirli bir sınır olduğu için, insan, limitin de belirli bir değer olduğunu düşünmek istiyor Ama N sonsuza giderken, toplam sıfırla 1 arasında gidip geldiği için, tek bir değerden bahsedemiyoruz. Bunun için, yani böyle bir durumda, serinin, S serisinin ıraksadığını söyleriz. Tekrar ediyorum, S serisi ıraksıyor.