n-kare Toplamını Bulma (1. Bölüm)

Bu videoda, i eşittir sıfırdan, n’ye kadar, i kare’nin toplamını bulmak istiyorum. Bunu açık halde yazacak olursak, Sıfırın karesi artı 1’in karesi artı 2’nin karesi artı 3’ün karesi diye başlayıp, N kareye kadar devam ederiz. Evet, Sıfırın karesinden başlayıp n kareye kadar olan bu toplamı hesaplamama yardım edecek Bir fonksiyon bulmaya çalışacağız. n’in küçük değerleri için, bu toplamı kolaylıkla hesaplayabiliriz Ama n’in çok ama çok büyük değerleri için, Bu işlemi yapmak çok zaman alır. İşte bu yüzden, böyle bir fonksiyonumuz olsa çok faydalı olur değil mi ?. Öncelikle, bulacağımız fonksiyonun girdi ve çıktılarının ne olacağını anlamaya çalışalım. Girdi yani fonksiyona vereceğimiz değer, N olacak. N’in değeri, Sıfır, 1, 2, 3 olabilir, ve böyle devam edebilir. Şimdilik, burada duralım. Ama bir saniye, 4’ü de ekleyelim. Evet, buradaki değerler için, Fonksiyonun bize vereceği değerde Yani çıktımız da, Buraya yazdığımız, İ eşittir sıfırdan n’e, İ karenin toplamı olacak. N, sıfırken, Bu sıfırdır. N, 1’ken, Sıfırın karesi artı 1’in karesi, 1 eder. N, 2’yken, Sıfırın karesi artı 1’in karesi artı 2’nin karesi, Yani 1 artı 4, 5 eder. N, 3’ken, 3’e kadar gideceğiz, 1 artı 4 artı 9, Yani, 5 artı 9 14 eder. Ve son olarak, N, 4’ken, Buna 4’ün karesini yani 16’yı ekleyeceğiz ve 30 bulacağız. Evet, bu, bu şekilde devam edebilir. Fonksiyona verdiğimiz ve fonksiyondan aldığımız değerler karşımızda Bu değerler arasındaki bağıntıyı nasıl bir fonksiyonun kurabileceğini düşünelim. Mesela, değerler arasındaki fark nedir? Bununla bunun arasındaki fark 1. Çünkü 1’in karesini ekledik, Burada, 4, Çünkü 2’nin karesini ekledik. Burada 3’ün karesini ekledik ve fark 9. Burada da, 4’ün karesini eklediğimiz için,Fark 16. Eğer bu fonksiyon doğrusal bir fonksiyon olsaydı, Ardışık terimler arasındaki fark aynı olurdu. İkinci dereceden bir fonksiyondaysa, Farkların farkı aynıdır. Hmm, acaba bu doğru olabilir mi? Bakalım Buradaki fark 1, buradaki de 4. Farklarıysa 3. Burada 5. Burada da 7. Gördüğünüz gibi, farkların farkı da aynı değil hatta artıyor. Peki, devam edelim.. Eğer bu fonksiyon, üçünü dereceden bir fonksiyonsa, Farkların farkının farkı aynı olmalı. Bir de bunu deneyelim, Bu arada, kalkülüs görmeye başladığınızda bunu bilmenin çok faydalı olduğunu göreceksiniz. Burada, 3’le 5 arasındaki fark 2. 5’le 7 arasındaki fark da 2. Evet, fark sabit ve 2. Farkların farkının farkının sabit olması, bize, Bunun üçüncü dereceden yani kübik bir fonksiyonla gösterilebileceğini söylüyor. Kübik fonksiyonu da, Şimdilik, A çarpı n üzeri 3 artı B çarpı n üzeri 2 artı C çarpı n artı D olarak yazalım. Geriye, buraya yazdığımız değerleri kullanarak, A, B, C ve D’yi bulmak kaldı. Haydi. Videoyu durdurun ve bunu siz yapın. N’in sıfır olduğu durumla başlayalım. N sıfırken, Fonksiyon da sıfır. n sıfırken, fonksiyonun sıfır olması için, tekrarlıyorum n sıfırken, fonksiyonun sıfır olması için, D’nin sıfır olması gerekir. Bakın, n sıfırken, Bu terimler sıfır olur ve geriye D kalır. Fonksiyonun da sıfır olduğunu bildiğimiz için, D eşittir sıfır buluruz. Evet, D sıfırmış. O zaman istersek, D’yi görmezden gelebilir Ve fonksiyonu bu şekilde ele alabiliriz. Şimdi, buradaki değerleri denemeye devam edelim. N, 1’ken, Bu, A çarpı 1 üzeri 3, Yani 1. A yazıyorum b çarpı 1’in karesi, O da 1’dir, O halde bu da B olur. Artı C çarpı 1, Yani C. ve bu da 1’e eşit. N’in 2 olduğu duruma bakalım. 2 üzeri 3, 8 eder. O zaman bu, 8A olur. 2’nin karesi 4’tür. Artı 4B. Ve 2 üzeri 1’de 2 olduğu için, 2C.... ve bu eşittir 5. 3 tane bilinmeyen için, 3 tane denkleme ihtiyacım var, Onun için n’in 3 olduğu durumu da yazalım. A çarpı 3 üzeri 3, 27A eder. Artı 9B, Artı 3C eşittir 14. Evet, karşımızda, 3 bilinmeyenli 3 denklem var, Bunla rı çözdüğümüzde, A, B ve C’yi bulup, Buradaki kareli ifadelerin toplamı için bir fonksiyon bulabiliriz. Ama bunu sizin yapmanızı istediğim için, Videoyu burada durduruyorum, Ve sizden bu denklemleri çözmenizi istiyorum. Bir sonraki videoda ise birlikte üzerinden geçeceğiz.