Ana içerik
Güncel saat:0:00Toplam süre:4:25

Açık Formülle İfade Edilen Seri Terimlerini Toplam Gösterimine Dönüştürme (n ≥ 2)

Video açıklaması

Diyelim ki, bize böyle bir toplam verildi, n, 2’den başlıyor ve sonsuza kadar gidecek. Bu sonsuz serinin, eksi 8 bölü 5 artı 16 bölü 7 eksi 32 bölü 9 artı nokta nokta nokta şeklinde devam ettiğini biliyoruz. Bu videoda, burada gördüğünüz genel terimi, açık bir şekilde tanımlamak istiyorum. Neden? Çünkü şu anda, sadece, n’in 2’den sonsuza kadar olan değerlerini topladığımızda, bunu elde edebileceğimizi biliyoruz. Oysaki benim istediğim, a n’yi, n cinsinden yazabilmek. Haydi bakalım, videoyu durdurun ve soruyu kendi başınıza bir deneyin. Şimdi, bir bakalım. Aklıma gelen ilk şey, bunun ilk terim olduğu. Yazıyorum, a2, eksi 8 bölü 5’e eşit. a3, 16 bölü 7’ye ve a4 de eksi 32 bölü 9. Burada işaretleri paya koydum çünkü işareti kesrin önüne ya da payına koymak, kesrin değerini değiştirmez. Bunu bir daha yazacağım çünkü şu an işaretin nerede olduğu pek de açık değil. Evet, şimdi oldu. Bu, eksi 8 bölü 5. Bu zaten pozitif, onun için bunu düşünmeme gerek bile yok. Buradaki eksi 32 bölü 9’un işaretini de, 32’nin önüne koyalım. Şimdi, işe, pay ile başlayalım ve aralarında bir benzerlik bulup bulamayacağımıza bakalım. Eksi 8’den, 16’ya ulaşmak için, ne yapabiliriz? Eksi 2 ile çarparız. Peki, 16’dan eksi 32’ye ulaşmak için? Yine eksi 2 ile çarpabiliriz, değil mi? O zaman payda her ne olacaksa, 2’nin bir kuvveti olacaktır diyebiliriz. Peki, eksi 2’nin karesi olabilir mi? Olamaz. Eksi 2’nin karesinin, eksi 8 değil, 4 olduğunu biliyoruz. Bu, yani eksi 8, eksi 2 üzeri 3’tür. 16, eksi 2 üzeri 4 ve eksi 32 de, eksi 2 üzeri 5’tir. Kısacası, 2’nin kuvvetinin, terim numarasından 1 fazla olması gerekiyor. Burada n, 2’ye eşit, kuvvet 3’e. Burada, n, 3, kuvvet 4 ve burada da, n, 4’ken, kuvvet 5. Artık payın nasıl tanımlanabileceği konusunda bir fikrimiz var. Hemen yazalım. a n eşittir, eksi 2 üzeri, n artı 1. Evet, bunun pay için mantıklı. Şimdi sıra paydalarda. Bölü çizgisini çizelim. Evet, n, 2’yken, payda 5. n, 3’ken, payda 7 ve n 4’ken, payda 9. 5, 2 kere 2 artı 1’dir, öyle değil mi? 2 çarpı 2 artı 1. Bu, 2 çarpı 3 artı 1, bu da, 2 çarpı 4 artı 1’dir. Buradaki benzerliğin tam olarak ne olduğunu bulana kadar, her olasılığı düşünmelisiniz. Mesela, paydanın her seferinde 2 arttığını biliyoruz. Zaten burada da bunu yaptık, bunlar da her seferinde 2 artıyor ama buna rağmen, paydadaki sayılar, 2’nin katları değiller. Ve bu sayılara ulaşmak için, 2’nin katlarına 1 eklememiz gerekiyor. Bunun için, paydaki sayının, 2 çarpı terim numarası artı 1 olması gerektiğini düşünüyorum. Evet, hemen yazalım. 2 çarpı n artı 1. İşte bu kadar, genel terimi yani a n’i bulduk. Bir de sigma gösterimi ile yazalım. Toplam, n eşittir 2’den, sonsuza kadar, eksi 2 üzeri n artı 1, bölü 2 çarpı n artı 1. Evet, bu, buradaki serinin açık olarak tanımlamış hali ve buna eşit.